Calcule a integral definida
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de
até
, onde
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente trabalhando com funções com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dentro da integral e usar propriedades de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. O valor absoluto
garante que a base
seja sempre positiva ou zero. Quando elevamos isso a
, com
, estamos basicamente achatando a curva da função em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes para simplificar, já que o intervalo é de
a
e a função
é simétrica em relação ao eixo
. Assim, podemos calcular de
a
e depois multiplicar o resultado por 2.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de
a
. A integral de
é dada por:
onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites.
Passo 5
Aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Agora, multiplicamos por 2 para considerar a simetria da função:
Resposta
A integral definida é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde
é a substituição de variáveis em coordenadas polares.
Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.
Determine a área sob a curva em
no intervalo
utilizando integração definida.
As funções
e
são contínuas em
. A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.