Calcule a integral definida
integral-1^1 |x|^p dx
para 0 < p < 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de até , onde . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente trabalhando com funções com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dentro da integral e usar propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O valor absoluto garante que a base seja sempre positiva ou zero. Quando elevamos isso a , com , estamos basicamente achatando a curva da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para simplificar, já que o intervalo é de integral-1^1 |x|^p dx = 2 integral0^1 x^p dx a e a função é simétrica em relação ao eixo . Assim, podemos calcular de a e depois multiplicar o resultado por 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integral x^n dx = x^n+1n+1 + C de a . A integral de é dada por:
onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites.

Passo 5

Aplicando os limites de integral0^1 x^p dx = [ x^p+1p+1 ]0^1 = 1^p+1p+1 - 0^p+1p+1 = 1p+1 a :

Passo 6

Agora, multiplicamos por 2 para considerar a simetria da função:
2 times 1p+1 = 2p+1

Resposta

A integral definida é igual a .

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