Calcule a integral definida
para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de de até , onde . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente trabalhando com funções com valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dentro da integral e usar propriedades de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . O valor absoluto garante que a base seja sempre positiva ou zero. Quando elevamos isso a , com , estamos basicamente achatando a curva da função em relação a .

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para simplificar, já que o intervalo é de a e a função é simétrica em relação ao eixo . Assim, podemos calcular de a e depois multiplicar o resultado por 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de de a . A integral de é dada por:
onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites.

Passo 5

Aplicando os limites de a :

Passo 6

Agora, multiplicamos por 2 para considerar a simetria da função:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde é a substituição de variáveis em coordenadas polares.
Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.
Determine a área sob a curva em
no intervalo utilizando integração definida.
As funções e são contínuas em . A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.