Considere:
integral-infty^+infty e^-x^2 dx
Determine seu valor usando o método de um círculo.

Passo 1

Então, a gente tem a integral e precisa descobrir o valor dela usando o método do círculo. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções exponenciais, especialmente a função gaussiana. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e entender um pouquinho sobre áreas de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a integral de I = integral-infty^+infty e^-x^2 dx . Então, temos:
I^2 = ( integral-infty^+infty e^-x^2 dx ) ( integral-infty^+infty e^-y^2 dy ) = integral-infty^+infty integral-infty^+infty e^-(x^2 + y^2) dx dy
Para facilitar, vamos considerar o quadrado dessa integral:
Aqui, usamos duas variáveis, e , para transformar a integral em uma dupla integral.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde I^2 = integral0^2pi integral0^infty e^-r^2 r dr dtheta e . Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área vira . Assim, a integral fica:
Isso simplifica bastante, porque agora estamos lidando com uma integral radial e angular separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a parte da integral radial primeiro:
integral0^infty e^-r^2 r dr
Para isso, fazemos uma substituição: seja integral0^infty e^-u du2 = 12 integral0^infty e^-u du = 12 [ -e^-u ]0^infty = 12 , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, voltamos à integral completa:
I^2 = integral0^2pi 12 dtheta = 12 times 2pi = pi
Portanto, .

Resposta

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
I = raizpi
Então, o valor da integral é .

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