Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.
Passo 1
Então, a gente tem a integral
e precisa descobrir o valor dela usando o método do círculo. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções exponenciais, especialmente a função gaussiana. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e entender um pouquinho sobre áreas de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a integral de
. Então, temos:
Para facilitar, vamos considerar o quadrado dessa integral:
Aqui, usamos duas variáveis,
e
, para transformar a integral em uma dupla integral.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área
vira
. Assim, a integral fica:
Isso simplifica bastante, porque agora estamos lidando com uma integral radial e angular separadamente.
Passo 4
Vamos resolver a parte da integral radial primeiro:
Para isso, fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, voltamos à integral completa:
Portanto,
.
Resposta
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
e a série Maclaurin de
para mostrar que
Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de
ou
.
Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde
é a substituição de variáveis em coordenadas polares.
Calcule a integral definida
para
.