Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.

Passo 1

Então, a gente tem a integral e precisa descobrir o valor dela usando o método do círculo. Isso faz parte do estudo de integrais envolvendo funções exponenciais, especialmente a função gaussiana. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares e entender um pouquinho sobre áreas de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a integral de . Então, temos:
Para facilitar, vamos considerar o quadrado dessa integral:
Aqui, usamos duas variáveis, e , para transformar a integral em uma dupla integral.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Lembrando que, em coordenadas polares, o elemento de área vira . Assim, a integral fica:
Isso simplifica bastante, porque agora estamos lidando com uma integral radial e angular separadamente.

Passo 4

Vamos resolver a parte da integral radial primeiro:
Para isso, fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, voltamos à integral completa:
Portanto, .

Resposta

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

e a série Maclaurin de para mostrar que
Calcule o valor das integrais impróprias
dada a condição de ou .
Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde é a substituição de variáveis em coordenadas polares.
Calcule a integral definida
para .