As funções
e
são contínuas em
. A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a integral da soma de duas funções contínuas
e
no intervalo
é igual à soma das integrais de cada função individualmente nesse mesmo intervalo. Esse assunto faz parte do estudo das propriedades das integrais, especificamente a linearidade da integral definida. Para resolver, vamos usar a definição de integral e propriedades básicas de somas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que queremos provar:
Isso significa que integrar a soma de duas funções é o mesmo que somar as integrais de cada função separadamente.
Passo 3
Vamos começar pela definição de uma integral definida usando somas de Riemann. Dividimos o intervalo
em
partes iguais, cada uma com largura
. Escolhemos pontos
em cada subintervalo e calculamos a soma das áreas dos retângulos formados.
Passo 4
A integral da soma das funções é dada por:
Aqui, estamos somando os valores das funções
e
em cada ponto
e multiplicando pela largura
.
Passo 5
Podemos separar a soma dentro da integral:
Isso é válido porque a soma de duas somas é igual à soma das somas.
Passo 6
Agora, aplicando o limite quando
tende ao infinito:
Isso ocorre porque o limite da soma é igual à soma dos limites.
Passo 7
Reconhecemos que cada um desses limites é, na verdade, a definição das integrais individuais:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso prova que a integral da soma de duas funções contínuas é igual à soma das integrais de cada função no intervalo
.
Exercícios relacionados
Determine a área sob a curva em
no intervalo
utilizando integração definida.
Calcule a integral definida
para
.
Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule , onde
é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule , onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde
está entre as esferas
e
.
Calcule , onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
Calcule , onde
fica entre as esferas
e
acima do cone
.
Encontre o volume da parte da bola a que está entre os cones
e
.
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a seu centro.
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Encontre o volume da parte da bola
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio
Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades
e os planos coordenados.