As funções e são contínuas em . A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a integral da soma de duas funções contínuas e no intervalo é igual à soma das integrais de cada função individualmente nesse mesmo intervalo. Esse assunto faz parte do estudo das propriedades das integrais, especificamente a linearidade da integral definida. Para resolver, vamos usar a definição de integral e propriedades básicas de somas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que queremos provar:
Isso significa que integrar a soma de duas funções é o mesmo que somar as integrais de cada função separadamente.

Passo 3

Vamos começar pela definição de uma integral definida usando somas de Riemann. Dividimos o intervalo em partes iguais, cada uma com largura . Escolhemos pontos em cada subintervalo e calculamos a soma das áreas dos retângulos formados.

Passo 4

A integral da soma das funções é dada por:
Aqui, estamos somando os valores das funções e em cada ponto e multiplicando pela largura .

Passo 5

Podemos separar a soma dentro da integral:
Isso é válido porque a soma de duas somas é igual à soma das somas.

Passo 6

Agora, aplicando o limite quando tende ao infinito:
Isso ocorre porque o limite da soma é igual à soma dos limites.

Passo 7

Reconhecemos que cada um desses limites é, na verdade, a definição das integrais individuais:

Resposta

Portanto, mostramos que:
Isso prova que a integral da soma de duas funções contínuas é igual à soma das integrais de cada função no intervalo .

Exercícios relacionados

Determine a área sob a curva em
no intervalo utilizando integração definida.
Calcule a integral definida
para .
Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule , onde é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule , onde é o hemisfério sólido .
Calcule , onde está entre as esferas
e .
Calcule , onde é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde é a porção da bola unitária que fica no primeiro octante.
Calcule , onde fica entre as esferas e acima do cone .
Encontre o volume da parte da bola a que está entre os cones e .
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a seu centro.
Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades e os planos coordenados.