As funções f(x) e g(x) são contínuas em [a,b]. A integral
integrala^b [f(x) + g(x)] dx = integrala^b f(x) dx + integrala^b g(x) dx
determina a função soma. Prove essa propriedade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a integral da soma de duas funções contínuas e no intervalo é igual à soma das integrais de cada função individualmente nesse mesmo intervalo. Esse assunto faz parte do estudo das propriedades das integrais, especificamente a linearidade da integral definida. Para resolver, vamos usar a definição de integral e propriedades básicas de somas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que queremos provar:
integrala^b [f(x) + g(x)] , dx = integrala^b f(x) , dx + integrala^b g(x) , dx
Isso significa que integrar a soma de duas funções é o mesmo que somar as integrais de cada função separadamente.

Passo 3

Vamos começar pela definição de uma integral definida usando somas de Riemann. Dividimos o intervalo em partes iguais, cada uma com largura . Escolhemos pontos em cada subintervalo e calculamos a soma das áreas dos retângulos formados.

Passo 4

A integral da soma das funções é dada por:
integrala^b [f(x) + g(x)] , dx = limn to infty sumi=1^n [f(xi) + g(xi)] De
Aqui, estamos somando os valores das funções e em cada ponto e multiplicando pela largura .

Passo 5

Podemos separar a soma dentro da integral:
sumi=1^n [f(xi) + g(xi)] De
Isso é válido porque a soma de duas somas é igual à soma das somas.

Passo 6

Agora, aplicando o limite quando limn to infty ( sumi=1^n f(xi) De tende ao infinito:
Isso ocorre porque o limite da soma é igual à soma dos limites.

Passo 7

Reconhecemos que cada um desses limites é, na verdade, a definição das integrais individuais:
limn to infty sumi=1^n f(xi) De
limn to infty sumi=1^n g(xi) De

Resposta

Portanto, mostramos que:
integrala^b [f(x) + g(x)] , dx = integrala^b f(x) , dx + integrala^b g(x) , dx
Isso prova que a integral da soma de duas funções contínuas é igual à soma das integrais de cada função no intervalo .

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