Determine a área sob a curva em
no intervalo utilizando integração definida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a área sob a curva da função no intervalo de a usando integração definida. Para isso, vamos usar o conceito de integral definida que nos permite calcular a área entre a curva e o eixo dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral definida que representa a área que queremos calcular. A fórmula geral para a área sob a curva de de a é:
No nosso caso, , e . Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a função dentro da integral. Note que:
Isso porque:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Sabemos que:
Então:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original da área:

Resposta

A área sob a curva é unidades de área.

Exercícios relacionados

Calcule a integral definida
para .
Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde é a substituição de variáveis em coordenadas polares.
As funções e são contínuas em . A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.
Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule , onde é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule , onde é o hemisfério sólido .
Calcule , onde está entre as esferas
e .
Calcule , onde é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde é a porção da bola unitária que fica no primeiro octante.
Calcule , onde fica entre as esferas e acima do cone .
Encontre o volume da parte da bola a que está entre os cones e .
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a seu centro.