Determine a área sob a curva em
y = x^2 / (1 + x^2)
no intervalo [-1, 1] utilizando integração definida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a área sob a curva da função no intervalo de a usando integração definida. Para isso, vamos usar o conceito de integral definida que nos permite calcular a área entre a curva e o eixo dentro de um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a integral definida que representa a área que queremos calcular. A fórmula geral para a área sob a curva de de a é:
No nosso caso, , e . Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a função dentro da integral. Note que:
Isso porque:
Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Sabemos que:
Então:
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original da área:

Resposta

A área sob a curva é unidades de área.

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