Determine a área sob a curva em
no intervalo
utilizando integração definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a área sob a curva da função
no intervalo de
a
usando integração definida. Para isso, vamos usar o conceito de integral definida que nos permite calcular a área entre a curva e o eixo
dentro de um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a integral definida que representa a área que queremos calcular. A fórmula geral para a área sob a curva de
de
a
é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos simplificar a função dentro da integral. Note que:
Isso porque:
Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Sabemos que:
Então:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original da área:
Resposta
A área sob a curva é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule a integral definida
para
.
Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde
é a substituição de variáveis em coordenadas polares.
As funções
e
são contínuas em
. A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.
Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule , onde
é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule , onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde
está entre as esferas
e
.
Calcule , onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
Calcule , onde
fica entre as esferas
e
acima do cone
.
Encontre o volume da parte da bola a que está entre os cones
e
.
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a seu centro.
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Encontre o volume da parte da bola
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio