Determine a área sob a curva em
no intervalo
utilizando integração definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a área sob a curva da função
no intervalo de
a
usando integração definida. Para isso, vamos usar o conceito de integral definida que nos permite calcular a área entre a curva e o eixo
dentro de um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a integral definida que representa a área que queremos calcular. A fórmula geral para a área sob a curva de
de
a
é:
No nosso caso,
,
e
. Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos simplificar a função dentro da integral. Note que:
Isso porque:
Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Sabemos que:
Então:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, substituímos os resultados das integrais na expressão original da área:
Resposta
A área sob a curva é
unidades de área.