Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde
é a substituição de variáveis em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral de
ao longo do caminho onde
, com
variando de
a
. Vamos usar o método dos resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Para isso, precisamos entender os polos da função e aplicar o Teorema dos Resíduos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
representa um número complexo na forma polar, onde o raio é 1 (já que
) e o ângulo é
. Isso significa que estamos integrando ao longo da circunferência unitária no plano complexo.
Passo 3
Nossa função a integrar é
. Para usar o método dos resíduos, precisamos encontrar os pólos dessa função, ou seja, os valores de
que fazem o denominador ser zero:
Então, temos dois pólos:
e
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses pólos estão dentro da nossa curva de integração, que é a circunferência unitária
:
Ambos os pólos estão na circunferência, não estritamente dentro dela. Quando os pólos estão na própria curva de integração, usamos uma regra especial: cada pólo na curva contribui com metade do resíduo.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo de
em
:
De forma similar, o resíduo em
é:
Passo 6
Como ambos os pólos estão na curva de integração, cada um contribui com metade do resíduo:
Resposta
A integral
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.
e a série Maclaurin de
para mostrar que
Calcule a integral definida
para
.
Determine a área sob a curva em
no intervalo
utilizando integração definida.