Use o método dos resíduos para calcular a integral:
integral-pi^pi 11+z^2 dz
onde z = e^ix é a substituição de variáveis em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral de ao longo do caminho onde , com variando de a . Vamos usar o método dos resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Para isso, precisamos entender os polos da função e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa um número complexo na forma polar, onde o raio é 1 (já que ) e o ângulo é . Isso significa que estamos integrando ao longo da circunferência unitária no plano complexo.

Passo 3

Nossa função a integrar é 1 + z^2 = 0 implies z^2 = -1 implies z = i ou z = -i . Para usar o método dos resíduos, precisamos encontrar os pólos dessa função, ou seja, os valores de que fazem o denominador ser zero:
Então, temos dois pólos: e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses pólos estão dentro da nossa curva de integração, que é a circunferência unitária |i| = 1 e |-i| = 1 :
Ambos os pólos estão na circunferência, não estritamente dentro dela. Quando os pólos estão na própria curva de integração, usamos uma regra especial: cada pólo na curva contribui com metade do resíduo.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo de Res(f, i) = limz to i (z - i) cdot 11 + z^2 = limz to i z - i(z - i)(z + i) = limz to i 1z + i = 12i em Res(f, -i) = limz to -i (z + i) cdot 11 + z^2 = limz to -i z + i(z - i)(z + i) = limz to -i 1z - i = 1-2i = -12i :
De forma similar, o resíduo em é:

Passo 6

Como ambos os pólos estão na curva de integração, cada um contribui com metade do resíduo:
Contribuição total = 12 ( 12i + (-12i) ) = 12 ( 0 ) = 0 çã

Resposta

A integral é igual a 0.

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