Use o método dos resíduos para calcular a integral:
onde é a substituição de variáveis em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos a integral de ao longo do caminho onde , com variando de a . Vamos usar o método dos resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Para isso, precisamos entender os polos da função e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, representa um número complexo na forma polar, onde o raio é 1 (já que ) e o ângulo é . Isso significa que estamos integrando ao longo da circunferência unitária no plano complexo.

Passo 3

Nossa função a integrar é . Para usar o método dos resíduos, precisamos encontrar os pólos dessa função, ou seja, os valores de que fazem o denominador ser zero:
Então, temos dois pólos: e .

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses pólos estão dentro da nossa curva de integração, que é a circunferência unitária :
Ambos os pólos estão na circunferência, não estritamente dentro dela. Quando os pólos estão na própria curva de integração, usamos uma regra especial: cada pólo na curva contribui com metade do resíduo.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo de em :
De forma similar, o resíduo em é:

Passo 6

Como ambos os pólos estão na curva de integração, cada um contribui com metade do resíduo:
çã

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Considere:
Determine seu valor usando o método de um círculo.
e a série Maclaurin de para mostrar que
Calcule a integral definida
para .
Determine a área sob a curva em
no intervalo utilizando integração definida.