Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Esse exercício envolve cálculo de integrais e trigonometria. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e entender algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que
é a derivada de
, então podemos tentar fazer uma substituição para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Isso nos permite substituir
por
na integral.
Passo 4
Reescrevendo a integral em termos de
, temos:
Agora, nossa integral ficou bem mais simples!
Passo 5
Essa nova integral
é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Então, a integral se torna:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original
, lembramos que
. Portanto, a solução da integral indefinida é:
Passo 7
Agora, vamos voltar à integral definida, que vai de
a
. Vamos calcular os limites:
Para :
Para
Para
:
Resposta
A integral definida é igual a
.