Calcule a integral definida.
integral0^pi / 4 sec ^2 t1+tg t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^pi / 4 sec^2 t1+tan t dt. Esse exercício envolve cálculo de integrais e trigonometria. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica e entender algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que sec^2 t é a derivada de tan t, então podemos tentar fazer uma substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = tan t. Assim, a derivada de u em relação a t é du/dt = sec^2 t, ou seja, du = sec^2 t dt. Isso nos permite substituir sec^2 t dt por du na integral.

Passo 4

Reescrevendo a integral em termos de u, temos:
integral sec^2 t1 + tan t dt = integral du1 + u
Agora, nossa integral ficou bem mais simples!

Passo 5

Essa nova integral integral du1 + u é uma integral básica que resulta no logaritmo natural. Então, a integral se torna:
ln|1 + u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original t, lembramos que u = tan t. Portanto, a solução da integral indefinida é:
ln|1 + tan t| + C

Passo 7

Agora, vamos voltar à integral definida, que vai de 0 a pi/4. Vamos calcular os limites:
Para t = pi/4:
ln(1 + tan (pi/4)) = ln(1 + 1) = ln 2
Para t = 0:
ln(1 + tan 0) = ln(1 + 0) = ln 1 = 0

Resposta

A integral definida é igual a ln 2.

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