Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar se a série
converge ou diverge. Vamos usar conceitos de convergência de séries, especificamente o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos da série quando
fica bem grande. Quando
cresce, os termos de maior grau (aqueles com as potências maiores) dominam na expressão. Então, no numerador
, o termo
é o que mais importa. No denominador
, o termo
é o dominante.
Passo 3
Assim, para valores grandes de
, a fração
se comporta aproximadamente como
.
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que essa série é uma série p com
. Como
, a série
converge.
Passo 5
Para confirmar, vamos aplicar o Teste da Comparação. Calculamos o limite:
Como o limite é um número finito positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento. Já que
converge, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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