Teste a convergência ou divergência das séries. Justifique suas respostas. sumn=1^infty 6+n^31+2 n^4+n^8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de convergência de séries, especificamente o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da série quando fica bem grande. Quando cresce, os termos de maior grau (aqueles com as potências maiores) dominam na expressão. Então, no numerador , o termo é o que mais importa. No denominador , o termo é o dominante.

Passo 3

Assim, para valores grandes de , a fração se comporta aproximadamente como .

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que essa série é uma série p com . Como , a série converge.

Passo 5

Para confirmar, vamos aplicar o Teste da Comparação. Calculamos o limite:
limn to infty 6 + n^31 + 2n^4 + n^81n^5 = limn to infty 6n^5 + n^81 + 2n^4 + n^8 = 1
Como o limite é um número finito positivo, as duas séries têm o mesmo comportamento. Já que converge, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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