Calcule a integral definida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida de uma função vetorial que vai de 0 a 1. O exercício envolve cálculo de integrais e funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente da função separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como essa pode ser escrita como:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

A integral definida de uma função vetorial é calculada integrando cada componente separadamente. Então, vamos separar a integral em três partes:

Passo 4

Vamos começar integrando a primeira componente:
A integral de em relação a é . Avaliando de 0 a 1:
Então, a primeira parte fica:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda componente:
A integral de é . Avaliando de 0 a 1:
Então, a segunda parte fica:

Passo 6

Por último, vamos integrar a terceira componente:
A integral de é . Avaliando de 0 a 1:
Então, a terceira parte fica:

Resposta

Juntando todas as partes, a integral definida é:

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Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule .