Calcule a integral definida. integral0^1(e^2 t i+e^-t j+t k) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida de uma função vetorial que vai de 0 a 1. O exercício envolve cálculo de integrais e funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente da função separadamente e depois juntar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como essa pode ser escrita como:
F(t) = e^2 t i + e^-t j + t k
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

A integral definida de uma função vetorial é calculada integrando cada componente separadamente. Então, vamos separar a integral em três partes:
integral0^1 e^2t i , dt + integral0^1 e^-t j , dt + integral0^1 t k , dt

Passo 4

Vamos começar integrando a primeira componente:
integral0^1 e^2t , dt
A integral de e^2t em relação a t é 12 e^2t. Avaliando de 0 a 1:
12 e^2(1) - 12 e^2(0) = 12 e^2 - 12
Então, a primeira parte fica:
(e^22 - 12) i

Passo 5

Agora, vamos para a segunda componente:
integral0^1 e^-t , dt
A integral de e^-t é -e^-t. Avaliando de 0 a 1:
- e^-1 + e^0 = -1e + 1
Então, a segunda parte fica:
(1 - 1e) j

Passo 6

Por último, vamos integrar a terceira componente:
integral0^1 t , dt
A integral de t é 12 t^2. Avaliando de 0 a 1:
12(1)^2 - 12(0)^2 = 12
Então, a terceira parte fica:
12 k

Resposta

Juntando todas as partes, a integral definida é:
(e^22 - 12) i + (1 - 1e) j + 12 k

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