Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida de uma função vetorial que vai de 0 a 1. O exercício envolve cálculo de integrais e funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar integrar cada componente da função separadamente e depois juntar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial como essa pode ser escrita como:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
A integral definida de uma função vetorial é calculada integrando cada componente separadamente. Então, vamos separar a integral em três partes:
Passo 4
Vamos começar integrando a primeira componente:
A integral de
em relação a
é
. Avaliando de 0 a 1:
Então, a primeira parte fica:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda componente:
A integral de
é
. Avaliando de 0 a 1:
Então, a segunda parte fica:
Passo 6
Por último, vamos integrar a terceira componente:
A integral de
é
. Avaliando de 0 a 1:
Então, a terceira parte fica:
Resposta
Juntando todas as partes, a integral definida é:
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Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule
.