integral1^2 raiz1+x^2 d x, n=10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral definida com . Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, mais precisamente à aproximação de integrais usando métodos numéricos. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Trapézio, que é uma técnica para estimar o valor da integral quando não conseguimos calcular a antiderivada facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a Regra do Trapézio faz. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos segmentos (no caso, segmentos) e aproxima cada segmento por um trapézio. A área total é a soma das áreas desses trapézios.

Passo 3

Vamos começar calculando o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h = b - an . A fórmula para h = 2 - 110 = 0,1 é:
Aqui, , e . Então:

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar os pontos de divisão do intervalo x0 = 1, x1 = 1,1, x2 = 1,2, dots, x10 = 2 . Esses pontos são:
Basicamente, começamos em 1 e adicionamos 0,1 a cada passo até chegar a 2.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função em cada um desses pontos. Ou seja, vamos calcular , , …, .

Passo 6

Depois de ter todos os valores de integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ] , a Regra do Trapézio nos diz que a aproximação da integral é dada por:
Isso significa que somamos o primeiro e o último valor de , e dobramos os valores intermediários, depois multiplicamos tudo por .

Passo 7

Vamos calcular isso passo a passo:
Aproximação = 0,12 [ f(1) + 2f(1,1) + 2f(1,2) + dots + 2f(1,9) + f(2) ] çã
Isso envolve computar cada e somar conforme a fórmula.

Passo 8

Vamos calcular alguns termos para ilustrar:
f(1) = raiz1 + 1^2 = raiz2 approx 1,4142
f(1,1) = raiz1 + (1,1)^2 = raiz1 + 1,21 approx raiz2,21 approx 1,4866
E assim por diante até .

Passo 9

Depois de calcular todos os Aproximação = 0,12 [1,4142 + 2(1,4866 + 1,5596 + dots + 2,2361)] , somamos conforme a fórmula:
çã
Fazendo as contas, obtemos um valor aproximado para a integral.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a aproximação da integral utilizando a Regra do Trapézio com é aproximadamente 2,6034.

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