Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral definida
com
. Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, mais precisamente à aproximação de integrais usando métodos numéricos. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Trapézio, que é uma técnica para estimar o valor da integral quando não conseguimos calcular a antiderivada facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a Regra do Trapézio faz. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em pequenos segmentos (no caso,
segmentos) e aproxima cada segmento por um trapézio. A área total é a soma das áreas desses trapézios.
Passo 3
Vamos começar calculando o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de
. A fórmula para
é:
Aqui,
,
e
. Então:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar os pontos de divisão do intervalo
. Esses pontos são:
Basicamente, começamos em 1 e adicionamos 0,1 a cada passo até chegar a 2.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
em cada um desses pontos. Ou seja, vamos calcular
,
, …,
.
Passo 6
Depois de ter todos os valores de
, a Regra do Trapézio nos diz que a aproximação da integral é dada por:
Isso significa que somamos o primeiro e o último valor de
, e dobramos os valores intermediários, depois multiplicamos tudo por
.
Passo 7
Vamos calcular isso passo a passo:
Isso envolve computar cada
e somar conforme a fórmula.
Passo 8
Vamos calcular alguns termos para ilustrar:
E assim por diante até
.
Passo 9
Depois de calcular todos os
, somamos conforme a fórmula:
Fazendo as contas, obtemos um valor aproximado para a integral.
Resposta
Após realizar todos os cálculos, a aproximação da integral
utilizando a Regra do Trapézio com
é aproximadamente 2,6034.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule
.
Calcule a integral definida.
Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Nos itens abaixo, verifique se para o valor de a indicado, existe o limite da função dada.
.