Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche. Esse teorema é super útil para encontrar limites quando conseguimos “prender” nossa função entre duas outras que têm limites conhecidos. Vamos precisar lembrar que
sempre está entre -1 e 1, e usar isso a nosso favor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Confronto: se temos três funções, digamos
,
e
, e sabemos que
para todo
no intervalo considerado, e se
, então
. Ou seja, se nossa função está presa entre duas funções que convergem para o mesmo limite, ela também converge para esse limite.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Sabemos que para todo
,
Dividindo todos os lados dessa desigualdade por
(que é positivo para
, então a desigualdade se mantém), temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar os limites das funções que estão “prendendo” a nossa função
. Precisamos calcular:
Passo 5
Calculando esses limites, percebemos que, à medida que
cresce infinitamente,
também cresce muito, então
e
vão tendendo a zero:
Passo 6
Como temos que
e ambos os extremos tendem a zero, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:
Resposta
O limite
é igual a
.
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