Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche. Esse teorema é super útil para encontrar limites quando conseguimos “prender” nossa função entre duas outras que têm limites conhecidos. Vamos precisar lembrar que sempre está entre -1 e 1, e usar isso a nosso favor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Confronto: se temos três funções, digamos , e , e sabemos que para todo no intervalo considerado, e se , então . Ou seja, se nossa função está presa entre duas funções que convergem para o mesmo limite, ela também converge para esse limite.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Sabemos que para todo ,
Dividindo todos os lados dessa desigualdade por (que é positivo para , então a desigualdade se mantém), temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites das funções que estão “prendendo” a nossa função . Precisamos calcular:

Passo 5

Calculando esses limites, percebemos que, à medida que cresce infinitamente, também cresce muito, então e vão tendendo a zero:

Passo 6

Como temos que e ambos os extremos tendem a zero, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

Resposta

O limite é igual a .

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