Use o Teorema do Confronto (Sanduiche) para resolver os itens abaixo: Calcule lim x +infty sen(x)x^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando o Teorema do Confronto, também conhecido como Teorema do Sanduíche. Esse teorema é super útil para encontrar limites quando conseguimos “prender” nossa função entre duas outras que têm limites conhecidos. Vamos precisar lembrar que sempre está entre -1 e 1, e usar isso a nosso favor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Confronto: se temos três funções, digamos , e , e sabemos que para todo no intervalo considerado, e se , então . Ou seja, se nossa função está presa entre duas funções que convergem para o mesmo limite, ela também converge para esse limite.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Sabemos que para todo -1 <= sen(x) <= 1 ,
-1x^3 <= sen(x)x^3 <= 1x^3
Dividindo todos os lados dessa desigualdade por (que é positivo para , então a desigualdade se mantém), temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites das funções que estão “prendendo” a nossa função limx to +infty -1x^3 e limx to +infty 1x^3 . Precisamos calcular:

Passo 5

Calculando esses limites, percebemos que, à medida que limx to +infty -1x^3 = 0 e limx to +infty 1x^3 = 0 cresce infinitamente, também cresce muito, então e vão tendendo a zero:

Passo 6

Como temos que limx to +infty sen(x)x^3 = 0 e ambos os extremos tendem a zero, pelo Teorema do Confronto, podemos concluir que:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados