Considere a equação
. Mostre que essa equação não é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e precisa mostrar que ela não é exata. A matéria aqui é Equações Diferenciais Exatas, e para resolver isso, vamos precisar verificar uma condição específica que define se uma equação é exata ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham
e
. Nessa equação, temos:
Essas funções são importantes porque a condição de exatidão envolve as derivadas parciais delas.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Se essa igualdade não for verdadeira, a equação não é exata.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, comparamos as derivadas que calculamos:
Claramente,
não é igual a
a menos que
, o que não é uma condição geral válida para todos os
e
.
Resposta
Como
, a equação
não é exata.
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Resolva o problema de valor inicial
.
Calcule a integral definida:
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. A integral imprópria
é divergente.
Considere a equação
. Mostre que multiplicar os dois lados da equação por
gera uma nova equação que é exata.