Considere a equação (y^2 + 2xy) dx - x^2 dy = 0. Mostre que essa equação não é exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisa mostrar que ela não é exata. A matéria aqui é Equações Diferenciais Exatas, e para resolver isso, vamos precisar verificar uma condição específica que define se uma equação é exata ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham e . Nessa equação, temos:
Essas funções são importantes porque a condição de exatidão envolve as derivadas parciais delas.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma equação ser exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:
Se essa igualdade não for verdadeira, a equação não é exata.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, comparamos as derivadas que calculamos:
Claramente, não é igual a a menos que , o que não é uma condição geral válida para todos os e .

Resposta

Como , a equação não é exata.

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