Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial
é exata. Se for, a gente resolve ela. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Precisamos entender se a equação satisfaz a condição de exatidão, que envolve derivadas parciais das funções que acompanham
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham
e
. Chamamos essas funções de
e
, respectivamente. Então, temos:
A equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Para achar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 5
Vamos agora encontrar
usando a outra condição da exatidão:
Calculando
:
Igualando às duas expressões:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. Conjunto de nível 1 da função
é uma reta.
Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a.
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Calcule a integral definida:
Escreva a equação da distância entre dois pontos no plano
e
, aplique a equação para os pontos
e
e
.