Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial é exata. Se for, a gente resolve ela. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Exatas. Precisamos entender se a equação satisfaz a condição de exatidão, que envolve derivadas parciais das funções que acompanham e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que acompanham e . Chamamos essas funções de e , respectivamente. Então, temos:
A equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, vamos calcular :
Como , a equação é exata!

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Para achar , integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que vamos determinar.

Passo 5

Vamos agora encontrar usando a outra condição da exatidão:
Calculando :
Igualando às duas expressões:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta. Conjunto de nível 1 da função é uma reta.
Determine se a equação é exata. Se for, então solucione-a. .
Calcule a integral definida:
Escreva a equação da distância entre dois pontos no plano e , aplique a equação para os pontos e e .