Obtenha o limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite de uma função vetorial quando se aproxima de 1. A função vetorial é dada por:
Vamos precisar calcular o limite de cada uma das componentes dessa função separadamente usando conceitos de limites e funções básicas.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite da primeira componente: .
Quando se aproxima de 1, substituímos diretamente na expressão:
Então, o limite da primeira componente é 3.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: .
Ao tentar substituir , temos:
Isso é uma forma indeterminada (0/0), então precisamos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador até que possamos resolver o limite.
Primeiro, derivamos o numerador :
E derivamos o denominador :
Agora, o limite fica:
Portanto, o limite da segunda componente é .

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite da terceira componente: .
Substituindo diretamente :
Então, o limite da terceira componente é .

Resposta

Assim, o limite da função vetorial quando se aproxima de 1 é:

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Seja . Determine (b)
Calcule a integral definida.