Obtenha o limite. lim t 1lang<=3t^2, ln tt^2-1, sen 2 trang<=

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite de uma função vetorial quando lang<= 3t^2, ln tt^2-1, sin 2t rang<= se aproxima de 1. A função vetorial é dada por:
Vamos precisar calcular o limite de cada uma das componentes dessa função separadamente usando conceitos de limites e funções básicas.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite da primeira componente: limt to 1 3t^2 = 31^2 = 31 = 3 .
Quando se aproxima de 1, substituímos diretamente na expressão:
Então, o limite da primeira componente é 3.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: ln 11^2 - 1 = 00 .
Ao tentar substituir ddt (ln t) = 1t , temos:
ddt (t^2 - 1) = 2t
Isso é uma forma indeterminada (0/0), então precisamos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador até que possamos resolver o limite.
Primeiro, derivamos o numerador limt to 1 1t2t = limt to 1 12t^2 = 12 times 1^2 = 12 :
E derivamos o denominador :
Agora, o limite fica:
Portanto, o limite da segunda componente é .

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite da terceira componente: limt to 1 sin 2t = sin 2 times 1 = sin 2 .
Substituindo diretamente :
Então, o limite da terceira componente é .

Resposta

Assim, o limite da função vetorial quando limt to 1 lang<= 3t^2, ln tt^2-1, sin 2t rang<= = lang<= 3, 12, sin 2 rang<= se aproxima de 1 é:

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