Obtenha o limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite de uma função vetorial quando
se aproxima de 1. A função vetorial é dada por:
Vamos precisar calcular o limite de cada uma das componentes dessa função separadamente usando conceitos de limites e funções básicas.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite da primeira componente:
.
Quando
se aproxima de 1, substituímos diretamente na expressão:
Então, o limite da primeira componente é 3.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Ao tentar substituir
, temos:
Isso é uma forma indeterminada (0/0), então precisamos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador até que possamos resolver o limite.
Primeiro, derivamos o numerador
:
E derivamos o denominador
:
Agora, o limite fica:
Portanto, o limite da segunda componente é
.
Passo 4
Finalmente, vamos calcular o limite da terceira componente:
.
Substituindo diretamente
:
Então, o limite da terceira componente é
.
Resposta
Assim, o limite da função vetorial quando
se aproxima de 1 é:
Exercícios relacionados
Seja
. Determine (b)
Calcule a integral definida.