Seja r(t)=cos t i+sen t j+k. Determine (b) lim t 0(r(t) times r^prime(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial e precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o produto vetorial e o cálculo de limites. Vamos precisar saber como derivar vetores e calcular o produto vetorial entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial r^prime(t) = ddt ( cos t, i + sen t, j + k ) em relação a r^prime(t) = -sen t, i + cos t, j + 0, k . A derivada de um vetor é calculada derivando componente por componente.
Derivando cada termo:
Então, a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz . O produto vetorial de dois vetores r(t) times r^prime(t) = i & j & k cos t & sen t & 1 -sen t & cos t & 0 e i ( sen t cdot 0 - 1 cdot cos t ) - j ( cos t cdot 0 - 1 cdot (-sen t) ) + k ( cos t cdot cos t - sen t cdot (-sen t) ) é dado pela seguinte fórmula:
= -cos t, i - sen t, j + (cos^2 t + sen^2 t), k
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Como , fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse vetor quando limt to 0 (-cos t) = -cos 0 = -1 se aproxima de 0. Vamos analisar cada componente separadamente:
  1. Componente limt to 0 (-sen t) = -sen 0 = 0 :
    limt to 0 1 = 1
  2. Componente limt to 0 ( r(t) times r^prime(t) ) = -1, i + 0, j + 1, k :
  3. Componente :
Então, o vetor limite é:

Resposta

limt 0(r(t) times r^prime(t)) = -,i + k

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