Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial e precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 0. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o produto vetorial e o cálculo de limites. Vamos precisar saber como derivar vetores e calcular o produto vetorial entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a . A derivada de um vetor é calculada derivando componente por componente.
Derivando cada termo:
Então, a derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado pela seguinte fórmula:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando cada componente:
Como , fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse vetor quando limt to 0 (-cos t) = -cos 0 = -1 se aproxima de 0. Vamos analisar cada componente separadamente:
Componente limt to 0 (-sen t) = -sen 0 = 0 :
limt to 0 1 = 1
Componente limt to 0 ( r(t) times r^prime(t) ) = -1, i + 0, j + 1, k :