Calcule a integral definida de A(R)=integral1^2 x^-3(1+x^-2)^-3 d x.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo substituição para resolver integrais mais complexas. Vamos precisar aplicar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Vamos definir:
u = 1 + x^-2
Isso significa que estamos substituindo uma parte da função complicadora para tornar a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -2x^-3 em relação a dx = du-2x^-3 para encontrar :
Então, podemos rearranjar para expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos A(R) = integral1^2 x^-3 cdot u^-3 cdot du-2x^-3 = -12 integralu(1)^u(2) u^-3 , du e na integral original:
Note que se cancela.

Passo 5

Precisamos agora ajustar os limites de integração para a variável u(1) = 1 + (1)^-2 = 1 + 1 = 2 :
u(2) = 1 + (2)^-2 = 1 + 14 = 54
-12 integral2^54 u^-3 , du
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Vamos inverter os limites de integração para eliminar o sinal negativo:
A(R) = 12 integral54^2 u^-3 , du
Agora, vamos integrar .

Passo 7

A integral de integral u^-3 , du = -12 u^-2 + C é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
A(R) = 12 [ -12 u^-2 ]54^2 = -14 ( u^-2 g|54^2 )
= -14 ( ( 12 )^2 - ( 45 )^2 )
= -14 ( 14 - 1625 )

Passo 9

Calculando a diferença dentro dos parênteses:
14 - 1625 = 25100 - 64100 = -39100
Então:
A(R) = -14 ( -39100 ) = 39400

Resposta

O valor da integral definida é .

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