Calcule a integral definida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Sugestão: Utilize o resultado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida da função
usando uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir
em uma série de potências e depois integrar termo a termo. A dica nos dá uma série geométrica que vamos utilizar como ponto de partida.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que podemos expandir
em uma série de potências. Sabemos que:
E também sabemos que:
Mas queremos a expansão de
, então substituímos
por
:
Passo 3
Agora, integraremos termo a termo para encontrar a série de
:
Integrando cada termo:
Como estamos lidando com séries, a constante de integração
pode ser ignorada.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
pela série que encontramos para
:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa série termo a termo:
Integrando cada termo:
Novamente, a constante de integração
pode ser ignorada para a série.
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência dessa série, usamos o critério da razão. Observando a série original de
, sabemos que ela converge para
. Como multiplicamos por
e integramos, o raio de convergência permanece o mesmo, pois multiplicar ou integrar não altera o intervalo de convergência.
Resposta
A integral de
pode ser expressa como uma série de potências:
E o raio de convergência dessa série é
.