Calcule a integral definida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
integral x^2 ln (1+x) d x
Sugestão: Utilize o resultado:
11-x=1+x^2+x^3+ldots=sumn=0^infty x^n, |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida da função usando uma série de potências. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir em uma série de potências e depois integrar termo a termo. A dica nos dá uma série geométrica que vamos utilizar como ponto de partida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que podemos expandir ln(1+x) = integral 11+x dx em uma série de potências. Sabemos que:
11-x = sumn=0^infty x^n, |x| < 1
E também sabemos que:
11+x = sumn=0^infty (-1)^n x^n, |x| < 1
Mas queremos a expansão de , então substituímos por :

Passo 3

Agora, integraremos termo a termo para encontrar a série de ln(1+x) = integral 11+x dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^n dx = sumn=0^infty (-1)^n integral x^n dx :
ln(1+x) = sumn=0^infty (-1)^n x^n+1n+1 + C
Integrando cada termo:
Como estamos lidando com séries, a constante de integração pode ser ignorada.

Passo 4

Agora, vamos multiplicar x^2 ln(1+x) = x^2 sumn=0^infty (-1)^n x^n+1n+1 = sumn=0^infty (-1)^n x^n+3n+1 pela série que encontramos para :

Passo 5

Agora, vamos integrar essa série termo a termo:
integral x^2 ln(1+x) dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^n+3n+1 dx = sumn=0^infty (-1)^n 1n+1 integral x^n+3 dx
Integrando cada termo:
integral x^2 ln(1+x) dx = sumn=0^infty (-1)^n 1n+1 cdot x^n+4n+4 + C
Novamente, a constante de integração pode ser ignorada para a série.

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão:
integral x^2 ln(1+x) dx = sumn=0^infty (-1)^n x^n+4(n+1)(n+4)

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência dessa série, usamos o critério da razão. Observando a série original de , sabemos que ela converge para . Como multiplicamos por e integramos, o raio de convergência permanece o mesmo, pois multiplicar ou integrar não altera o intervalo de convergência.

Resposta

A integral de integral x^2 ln(1+x) dx = sumn=0^infty (-1)^n x^n+4(n+1)(n+4) pode ser expressa como uma série de potências:
E o raio de convergência dessa série é .

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