Determine a curvatura da curva com equações paramétricas

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma curva definida por duas equações paramétricas:
O que precisamos descobrir é a curvatura dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que para encontrar a curvatura de uma curva paramétrica , usamos a fórmula:
Aqui, e são as derivadas primeiras de e em relação a , e e são as derivadas segundas.

Passo 3

Vamos encontrar e . Como e são integrais definidas de 0 até , pela Teorema Fundamental do Cálculo, as derivadas são simplesmente as funções dentro das integrais avaliadas em :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas segundas e . Para isso, derivamos e em relação a :

Passo 5

Vamos substituir , , e na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
Onde e usamos a identidade trigonométrica .

Resposta

A curvatura da curva é .

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Calcule a integral definida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Sugestão: Utilize o resultado:
Utilize o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
i. Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado : encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
ii. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (lembre que a solução geral é da forma ).
iii. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
iv. Derive a solução obtida e use as condições iniciais , para encontrar os valores de e .
v. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de e encontrados no item anterior.
(Note que ).
i. Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada.
ii. Determine a equação indicial, a relação de recorrência (fórmula de recorrência) e as raízes da equação indicial.
iii. Encontre os coeficientes .