Determine a curvatura da curva com equações paramétricas
x(t)=integral0^t sen(12 pi theta^2) d theta, y(t)=integral0^t cos (12 pi theta^2) d theta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma curva definida por duas equações paramétricas:
x(t) = integral0^t sin(12 pi theta^2) dtheta
y(t) = integral0^t cos(12 pi theta^2) dtheta
O que precisamos descobrir é a curvatura dessa curva. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, lembremos que para encontrar a curvatura k = |x' y'' - y' x''|( x'^2 + y'^2 )^32 de uma curva paramétrica , usamos a fórmula:
Aqui, e são as derivadas primeiras de e em relação a , e e são as derivadas segundas.

Passo 3

Vamos encontrar x'(t) = sin(12 pi t^2) e y'(t) = cos(12 pi t^2) . Como e são integrais definidas de 0 até , pela Teorema Fundamental do Cálculo, as derivadas são simplesmente as funções dentro das integrais avaliadas em :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas segundas x''(t) = ddt [ sin(12 pi t^2) ] = cos(12 pi t^2) cdot pi t e y''(t) = ddt [ cos(12 pi t^2) ] = -sin(12 pi t^2) cdot pi t . Para isso, derivamos e em relação a :

Passo 5

Vamos substituir k = | sin(12 pi t^2) cdot (-sin(12 pi t^2) cdot pi t) - cos(12 pi t^2) cdot cos(12 pi t^2) cdot pi t | ( sin^2(12 pi t^2) + cos^2(12 pi t^2) )^32 , k = | -pi t sin^2(12 pi t^2) - pi t cos^2(12 pi t^2) | ( 1 )^32 = | -pi t (sin^2(A) + cos^2(A)) | 1 = | -pi t cdot 1 | 1 = pi t , e na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
Onde e usamos a identidade trigonométrica .

Resposta

A curvatura da curva é .

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