i. Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado : encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
ii. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (lembre que a solução geral é da forma ).
iii. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
iv. Derive a solução obtida e use as condições iniciais , para encontrar os valores de e .
v. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de e encontrados no item anterior.
(Note que ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando séries de potências! A gente tem a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos precisar usar séries de potências, derivadas de séries e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Isso significa que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas derivadas vão ser usadas na equação diferencial.

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar cada termo para que todas as séries tenham potências de .

Passo 5

Vamos reindexar as somas para que todas fiquem em termos de :
  • Para o primeiro termo, substituímos :
  • O segundo termo:
  • O terceiro termo já está em :
Agora, substituímos por para manter a consistência.

Passo 6

Agora, combinamos todas as séries em termos de :
Agrupamos os termos semelhantes para cada potência de .

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada a zero para obter a relação de recorrência:
Simplificando:

Resposta

A relação de recorrência encontrada é:

Exercícios relacionados

Determine a curvatura da curva com equações paramétricas
Calcule a integral definida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Sugestão: Utilize o resultado:
i. Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada.
ii. Determine a equação indicial, a relação de recorrência (fórmula de recorrência) e as raízes da equação indicial.
iii. Encontre os coeficientes .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas a seguir: