i. Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
: encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
ii. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
e
(lembre que a solução geral é da forma
).
iii. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
iv. Derive a solução obtida e use as condições iniciais
, para encontrar os valores de
e
.
v. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de
e
encontrados no item anterior.
(Note que
).
ii. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções
iii. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
iv. Derive a solução obtida e use as condições iniciais
v. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando séries de potências! A gente tem a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar usar séries de potências, derivadas de séries e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser expressa como uma série de potências em torno de
:
Isso significa que
é uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Essas derivadas vão ser usadas na equação diferencial.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar cada termo para que todas as séries tenham potências de
.
Passo 5
Vamos reindexar as somas para que todas fiquem em termos de
:
- Para o primeiro termo, substituímos
:
- O segundo termo:
- O terceiro termo já está em
:
Agora, substituímos
por
para manter a consistência.
Passo 6
Agora, combinamos todas as séries em termos de
:
Agrupamos os termos semelhantes para cada potência de
.
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada
a zero para obter a relação de recorrência:
Simplificando:
Resposta
A relação de recorrência encontrada é:
Exercícios relacionados
Determine a curvatura da curva com equações paramétricas
Calcule a integral definida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Sugestão: Utilize o resultado:
i. Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada.
ii. Determine a equação indicial, a relação de recorrência (fórmula de recorrência) e as raízes da equação indicial.
iii. Encontre os coeficientes
.
ii. Determine a equação indicial, a relação de recorrência (fórmula de recorrência) e as raízes da equação indicial.
iii. Encontre os coeficientes
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas a seguir: