i. Procure a solução em série de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x_0 : encontre a relação de recorrência (fórmula de recorrência).
ii. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (lembre que a solução geral é da forma y = a0 * y1 + a1 * y2 ).
iii. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
iv. Derive a solução obtida e use as condições iniciais y(0) = 2, y' (0) = 1, para encontrar os valores de a0 e a1.
v. Escreva a solução do problema, substituindo os valores de a0 e a1 encontrados no item anterior.
(1-x) y'' + x y' - 2 y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1 (Note que x0 = 0 ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando séries de potências! A gente tem a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos precisar usar séries de potências, derivadas de séries e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Isso significa que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Essas derivadas vão ser usadas na equação diferencial.

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:
Agora, vamos simplificar cada termo para que todas as séries tenham potências de .

Passo 5

Vamos reindexar as somas para que todas fiquem em termos de :
  • Para o primeiro termo, substituímos :
  • O segundo termo:
  • O terceiro termo já está em :
Agora, substituímos por para manter a consistência.

Passo 6

Agora, combinamos todas as séries em termos de :
Agrupamos os termos semelhantes para cada potência de .

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada a zero para obter a relação de recorrência:
Simplificando:

Resposta

A relação de recorrência encontrada é:

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