Calcule as integral definidas e/ou impróprias a seguir:
I1=integral0^3 x^2 e^x / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral definida . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais que envolvem polinômios multiplicados por funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar.

Passo 3

Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = e^x / 3 , dx Rightarrow v = 3 e^x / 3
Aqui, ao integrar , lembramos que a integral de é .

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2 e^x / 3 , dx = u v - integral v , du
Substituindo os valores:
= x^2 cdot 3 e^x / 3 - integral 3 e^x / 3 cdot 2x , dx
= 3 x^2 e^x / 3 - 6 integral x e^x / 3 , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = x Rightarrow du = dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Definindo:
dv = e^x / 3 , dx Rightarrow v = 3 e^x / 3

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral x e^x / 3 , dx = u v - integral v , du
Substituindo:
= x cdot 3 e^x / 3 - integral 3 e^x / 3 cdot 1 , dx
= 3 x e^x / 3 - 3 cdot 3 e^x / 3
= 3 x e^x / 3 - 9 e^x / 3

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 e^x / 3 , dx = 3 x^2 e^x / 3 - 6 ( 3 x e^x / 3 - 9 e^x / 3 )
Distribuindo o -6:
= 3 x^2 e^x / 3 - 18 x e^x / 3 + 54 e^x / 3

Passo 8

Agora, temos a antiderivada completa. Vamos aplicar os limites de 0 a 3:
I1 = [ 3 x^2 e^x / 3 - 18 x e^x / 3 + 54 e^x / 3 ]0^3

Passo 9

Calculando no limite superior 3 (3)^2 e^3 / 3 - 18 (3) e^3 / 3 + 54 e^3 / 3 = 27 e^1 - 54 e^1 + 54 e^1 = 27 e :
3 (0)^2 e^0 - 18 (0) e^0 + 54 e^0 = 0 - 0 + 54 = 54
No limite inferior I1 = 27 e - 54 :
Então:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados