Calcule as integral definidas e/ou impróprias a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral definida
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais que envolvem polinômios multiplicados por funções exponenciais. Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é super útil quando temos produtos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. A fórmula é:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a parte que simplifica ao derivar.
Passo 3
Vamos definir:
Aqui, ao integrar
, lembramos que a integral de
é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Definindo:
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Substituindo:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Distribuindo o -6:
Passo 8
Agora, temos a antiderivada completa. Vamos aplicar os limites de 0 a 3:
Passo 9
Calculando no limite superior
:
No limite inferior
:
Então:
Resposta
A integral vale
.