Considere a função
.
(a) Determine e classifique os pontos críticos da função
(a) Determine e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para encontrar onde a função tem pontos críticos (onde a inclinação é zero) e depois classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e é calculada derivando termo a termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação
:
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos estão em
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar a segunda derivada da função, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
- Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja,
é um mínimo local.
- Para
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja,
é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função
são:
-
– Mínimo Local -
– Máximo Local
Exercícios relacionados
Calcule as integral definidas e/ou impróprias a seguir:
Considere a função
.
(b) Determine as regiões de crescimento e decrescimento da função (Sugestão: Estude o sinal de
).
(b) Determine as regiões de crescimento e decrescimento da função
Resolva o problema de valor inicial.
Suponha que as funções reais
e
são contínuas em um intervalo aberto
e seja
uma solução complexa de
onde
e
são funções reais. Mostre que
e
são, também, soluções dessa EDO.