Considere a função f(x) = x^3/3 + x^2/2 - 2x + 3.
(a) Determine e classifique os pontos críticos da função f

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A questão pede para determinar e classificar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, mais especificamente derivadas, para encontrar onde a função tem pontos críticos (onde a inclinação é zero) e depois classificar esses pontos como máximos, mínimos ou pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada da função . A primeira derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e é calculada derivando termo a termo:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver a equação :
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos estão em e .

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar a segunda derivada da função, que nos ajuda a determinar a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos encontrados:
  1. Para :
Como , isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, ou seja, é um mínimo local.
  1. Para :
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • – Mínimo Local
  • – Máximo Local

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y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
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