Considere a função f(x) = x^3/3 + x^2/2 - 2x + 3.
(b) Determine as regiões de crescimento e decrescimento da função f (Sugestão: Estude o sinal de f'(x) ).

Passo 1

Então, a gente tem uma função e a tarefa é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender a taxa de variação da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada, , nos diz a inclinação da função em cada ponto. Se for positivo, a função está crescendo; se for negativo, está diminuindo.

Passo 3

Calculando a derivada:

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde é maior que zero (função cresce) ou menor que zero (função decresce). Para isso, resolvemos a inequação e .

Passo 5

Primeiro, resolvemos para encontrar os pontos críticos:
Então, e .

Passo 6

Dividimos a reta numérica em intervalos baseados nesses pontos:

Passo 7

Testamos um valor de cada intervalo na derivada :
  • Para : (cresce)
  • Para : (decresce)
  • Para : (cresce)

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo .

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Considere a função f(x) = x^3/3 + x^2/2 - 2x + 3.
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