Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular a integral de
. Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que nos ajudará a simplificar a expressão e facilitar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada no denominador. Observamos que temos
, o que se assemelha à identidade trigonométrica
. Podemos usar a substituição:
Com isso,
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os termos:
Passo 5
Sabemos que
pode ser escrito usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
As integrais são:
Então, substituindo:
Passo 7
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembramos que fizemos a substituição
, então:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine as integrais
Determine a derivada de:
Considere a função
.
(b) Determine as regiões de crescimento e decrescimento da função (Sugestão: Estude o sinal de
).
(b) Determine as regiões de crescimento e decrescimento da função
Calcule as integral definidas e/ou impróprias a seguir: