integral 4 x^2raiz16-x^2 d x

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular a integral de . Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, que nos ajudará a simplificar a expressão e facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada no denominador. Observamos que temos x = 4sintheta , o que se assemelha à identidade trigonométrica . Podemos usar a substituição:
Com isso, .

Passo 3

Agora, vamos substituir integral 4x^2raiz16 - x^2 , dx = integral 4(16sin^2theta)raiz16 - 16sin^2theta cdot 4costheta , dtheta e raiz16(1 - sin^2theta) = raiz16cos^2theta = 4costheta na integral original:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
integral 4 cdot 16sin^2theta4costheta cdot 4costheta , dtheta
Simplificando os termos:
integral 16sin^2theta cdot 4 , dtheta = 64 integral sin^2theta , dtheta

Passo 5

Sabemos que sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 pode ser escrito usando a identidade trigonométrica:
64 integral 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 32 integral (1 - cos(2theta)) , dtheta
Então, substituindo:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
32 ( integral 1 , dtheta - integral cos(2theta) , dtheta )
As integrais são:
integral 1 , dtheta = theta
integral cos(2theta) , dtheta = sin(2theta)2
Então, substituindo:
32 ( theta - sin(2theta)2 ) + C = 32theta - 16sin(2theta) + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar à variável original sintheta = x4 . Lembramos que fizemos a substituição theta = arcsin( x4 ) , então:
sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2 cdot x4 cdot raiz16 - x^24 = xraiz16 - x^28
32 arcsin( x4 ) - 16 cdot xraiz16 - x^28 + C = 32 arcsin( x4 ) - 2xraiz16 - x^2 + C
Substituindo de volta:

Resposta

A integral 32 arcsin( x4 ) - 2xraiz16 - x^2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine as integrais
integral x-3x^2-x-6 d x
Determine a derivada de: f(x) = cos(ln(x^2))
Considere a função f(x) = x^3/3 + x^2/2 - 2x + 3.
(b) Determine as regiões de crescimento e decrescimento da função f (Sugestão: Estude o sinal de f'(x) ).
Calcule as integral definidas e/ou impróprias a seguir:
I1=integral0^3 x^2 e^x / 3 d x