Resolva o problema de valor inicial. 9 y'' + 12 y' + 4 y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada e usar essas raízes para construir a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica para uma equação diferencial do tipo:
é dada por:
No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Vamos calcular o discriminante :

Passo 4

Como o discriminante , isso significa que temos raízes reais e iguais. Vamos calcular essas raízes:
Então, temos uma raiz repetida: .

Passo 5

Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Então:

Passo 7

Em seguida, vamos derivar a solução geral para encontrar :
Usando a regra do produto para derivar:
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados

Considere a função f(x) = x^3/3 + x^2/2 - 2x + 3.
(a) Determine e classifique os pontos críticos da função f
Calcule as integral definidas e/ou impróprias a seguir:
I1=integral0^3 x^2 e^x / 3 d x
Suponha que as funções reais p e q são contínuas em um intervalo aberto I e seja y = phi(t) u(t) + i v(t) uma solução complexa de
y'' + p(t) y' + q(t) y = 0
onde u e v são funções reais. Mostre que u e v são, também, soluções dessa EDO.
Esboce o gráfico da função 2^(-x^3). (3pts)