Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O enunciado apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Além disso, temos condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve resolver uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica associada e usar essas raízes para construir a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica para uma equação diferencial do tipo:
é dada por:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Vamos calcular o discriminante
:
Passo 4
Como o discriminante
, isso significa que temos raízes reais e iguais. Vamos calcular essas raízes:
Então, temos uma raiz repetida:
.
Passo 5
Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então:
Passo 7
Em seguida, vamos derivar a solução geral para encontrar
:
Usando a regra do produto para derivar:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(a) Determine e classifique os pontos críticos da função
(a) Determine e classifique os pontos críticos da função
Calcule as integral definidas e/ou impróprias a seguir:
Suponha que as funções reais
e
são contínuas em um intervalo aberto
e seja
uma solução complexa de
onde
e
são funções reais. Mostre que
e
são, também, soluções dessa EDO.
Esboce o gráfico da função
. (3pts)