Calcule a integral dupla.
21. integral duplaR x y e^23 d A, R=10,1] times[0.2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o professor passou. A questão é calcular a integral de sobre a região . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está definida pelo intervalo de 1 a 10 e pelo intervalo de 0 a 2. Isso significa que vamos integrar a função para todos os pontos onde varia de 1 a 10 e varia de 0 a 2.

Passo 3

Vamos aproveitar que integral duplaR x cdot y cdot e^23 , dA = e^23 integral duplaR x cdot y , dA é uma constante, ou seja, ele não depende de nem de . Isso facilita a nossa integração, pois podemos tirar a constante para fora da integral. Ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla integral duplaR x cdot y , dA = integral1^10 ( integral0^2 x cdot y , dy ) dx . Isso se faz integrando primeiro em relação a e depois em relação a :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna integral0^2 x cdot y , dy = x integral0^2 y , dy = x [ y^22 ]0^2 = x ( 42 - 0 ) = 2x . Como é constante em relação a , podemos tirar para fora:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral1^10 2x , dx = 2 integral1^10 x , dx = 2 [ x^22 ]1^10 = 2 ( 1002 - 12 ) = 2 ( 50 - 0.5 ) = 2 times 49.5 = 99

Resposta

Portanto, a integral dupla é:
integral duplaR x cdot y cdot e^23 , dA = 99 cdot e^23

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