Calcule a integral iterada.
11. integral0^1 integral0^1(u-v)^5 d t d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
integral0^1 integral0^1(u - v)^5 , dt , dv
Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que nos permitem calcular áreas ou volumes de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função passo a passo em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis de integração. No enunciado, temos integral0^1 integral0^1(t - v)^5 , dt , dv, e , mas parece haver uma confusão nas variáveis. Vamos assumir que a variável correta para a integral interna é e que é uma constante em relação a . Assim, reescrevemos a integral como:

Passo 3

Vamos começar integrando a função integral (t - v)^5 , dt = (t - v)^66 + C em relação a , mantendo constante. A antiderivada de em relação a é:
Como vamos avaliar entre os limites, a constante pode ser ignorada.

Passo 4

Agora aplicamos os limites de integração para [ (t - v)^66 ]0^1 = (1 - v)^66 - (0 - v)^66 de 0 a 1:
(1 - v)^6 - (-v)^66
Simplificando:

Passo 5

Observamos que (1 - v)^6 - v^66, já que qualquer número elevado a uma potência par fica positivo. Assim, a expressão fica:

Passo 6

Agora, a integral original reduz para:
integral0^1 (1 - v)^6 - v^66 , dv
Podemos fatorar o 16 integral0^1 ( (1 - v)^6 - v^6 ) , dv:

Passo 7

Vamos separar as integrais:
16 ( integral0^1 (1 - v)^6 , dv - integral0^1 v^6 , dv )

Passo 8

Calculando cada integral:
  1. Primeira integral:
integral (1 - v)^6 , dv = -(1 - v)^77 + C
Avaliada de 0 a 1:
[ -(1 - v)^77 ]0^1 = -0^77 + 1^77 = 17
  1. Segunda integral:
integral v^6 , dv = v^77 + C
Avaliada de 0 a 1:
[ v^77 ]0^1 = 1^77 - 0^77 = 17

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:
16 ( 17 - 17 ) = 16 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral iterada é .

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