Calcule a integral iterada.
11.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que nos permitem calcular áreas ou volumes de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função passo a passo em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis de integração. No enunciado, temos , e , mas parece haver uma confusão nas variáveis. Vamos assumir que a variável correta para a integral interna é e que é uma constante em relação a . Assim, reescrevemos a integral como:

Passo 3

Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo constante. A antiderivada de em relação a é:
Como vamos avaliar entre os limites, a constante pode ser ignorada.

Passo 4

Agora aplicamos os limites de integração para de 0 a 1:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que , já que qualquer número elevado a uma potência par fica positivo. Assim, a expressão fica:

Passo 6

Agora, a integral original reduz para:
Podemos fatorar o :

Passo 7

Vamos separar as integrais:

Passo 8

Calculando cada integral:
  1. Primeira integral:
Avaliada de 0 a 1:
  1. Segunda integral:
Avaliada de 0 a 1:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

O valor da integral iterada é .

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Encontre a linearização da função em .