Calcule a integral iterada.
11.
11.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada:
Aqui estamos trabalhando com integrais duplas, que nos permitem calcular áreas ou volumes de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar uma função passo a passo em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis de integração. No enunciado, temos
,
e
, mas parece haver uma confusão nas variáveis. Vamos assumir que a variável correta para a integral interna é
e que
é uma constante em relação a
. Assim, reescrevemos a integral como:
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
constante. A antiderivada de
em relação a
é:
Como vamos avaliar entre os limites, a constante
pode ser ignorada.
Passo 4
Agora aplicamos os limites de integração para
de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que
, já que qualquer número elevado a uma potência par fica positivo. Assim, a expressão fica:
Passo 6
Agora, a integral original reduz para:
Podemos fatorar o
:
Passo 7
Vamos separar as integrais:
Passo 8
Calculando cada integral:
- Primeira integral:
Avaliada de 0 a 1:
- Segunda integral:
Avaliada de 0 a 1:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
O valor da integral iterada é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral dupla.
21.
21.
Calcule a integral iterada.
7.
7.
Encontre
por derivação implícita.
Encontre a linearização
da função em
.