Calcule a integral dupla:
b. integral duplaR x y e^y d A ; R=(x, y) ; 0 <= x <= 2 ; 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde a região é definida por e . O conteúdo aqui envolve integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a integração iterada, ou seja, integrar em relação a uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela está limitada por entre 0 e 2, e entre 0 e 1. Isso significa que vamos integrar de 0 a 2 e de 0 a 1. A ordem da integração pode ser primeiro e depois , ou vice-versa. Vamos optar por integrar em relação a primeiro.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada:
integraly=0^1 ( integralx=0^2 x y e^y , dx ) dy
Aqui, fixamos e integramos em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna:
integral0^2 x y e^y , dx
Como y e^y integral0^2 x , dx é constante em relação a y e^y [ x^22 ]0^2 = y e^y ( 42 - 0 ) = y e^y times 2 = 2 y e^y , podemos tirar esses termos para fora da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 2 y e^y , dy
Podemos tirar o 2 para fora da integral:
2 integral0^1 y e^y , dy
Essa é uma integral que pode ser resolvida por partes, onde escolhemos e .

Passo 6

Aplicando a técnica de integração por partes:
u = y Rightarrow du = dy
dv = e^y dy Rightarrow v = e^y
A fórmula de integração por partes é integral y e^y , dy = y e^y - integral e^y , dy = y e^y - e^y + C , então:
[ y e^y - e^y ]0^1 = (1 times e^1 - e^1) - (0 times e^0 - e^0) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:

Passo 7

Multiplicando pelo 2 que havíamos fatorado antes:
2 times 1 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é .

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