Calcule a integral dupla:
b.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
, onde a região
é definida por
e
. O conteúdo aqui envolve integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies em funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a integração iterada, ou seja, integrar em relação a uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela está limitada por
entre 0 e 2, e
entre 0 e 1. Isso significa que vamos integrar
de 0 a 2 e
de 0 a 1. A ordem da integração pode ser
primeiro e depois
, ou vice-versa. Vamos optar por integrar em relação a
primeiro.
Passo 3
Vamos reescrever a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, fixamos
e integramos em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar esses termos para fora da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos tirar o 2 para fora da integral:
Essa é uma integral que pode ser resolvida por partes, onde escolhemos
e
.
Passo 6
Aplicando a técnica de integração por partes:
A fórmula de integração por partes é
, então:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Passo 7
Multiplicando pelo 2 que havíamos fatorado antes:
Resposta
O valor da integral dupla é
.