Qual é o estado estacionario y_infinito para y' = -y + delta(t-1) + H(t-3) ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem que descreve como uma função varia ao longo do tempo . O objetivo é encontrar o estado estacionário , ou seja, o valor que tende quando o tempo vai para o infinito. Para isso, vamos precisar analisar a equação e entender as funções envolvidas nela, como a função delta de Dirac e a função de Heaviside .

Passo 2

Em estado estacionário, queremos saber o valor de quando é muito grande, ou seja, . Nessa condição, a derivada de em relação ao tempo, , tende a zero porque não está mais mudando. Então, podemos simplificar a equação:
Mas, para , a função delta de Dirac , que é zero em todos os momentos exceto em , deixa de ter efeito. Já a função de Heaviside , que corresponde a um degrau que ocorre em , para , é igual a 1.

Passo 3

Substituindo essas observações na equação, temos:
Isso simplifica para:
Resolvendo para :

Resposta

O estado estacionário é .

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