Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
no primeiro octante.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido limitado por:
- O cilindro
, - Os planos
, , e , - E estamos no primeiro octante, ou seja, onde
, e são todos maiores ou iguais a zero.
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, que nos permitem calcular volumes de regiões 3D delimitadas por essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as restrições do sólido. O cilindro
é um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo y. Como estamos no primeiro octante, temos que
e
.
Os planos
,
e
correspondem aos planos dos eixos x, y e z, respectivamente. O plano
pode ser reescrito para expressar uma variável em termos das outras, por exemplo,
.
Vamos precisar determinar os limites de integração para cada variável.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração para cada variável.
-
Para
: Comoe , quando , temos . Portanto, varia de 0 a 2. -
Para
: Para cada valor de, varia de 0 até . -
Para
: O cilindro nos dá. Como , então varia de 0 até .
Passo 4
Agora que temos os limites de integração, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Começamos integrando em relação a
:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora integramos em relação a
:
Então a integral se simplifica para:
Passo 7
Vamos simplificar a integral:
Podemos dividir a integral em duas partes:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Fazemos a substituição
, então
. Assim,
Passo 9
Aplicando os limites de integração na primeira integral:
Quando
:
Quando
:
Então a primeira integral avaliada é
.
Para a segunda integral:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é dado por: