Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2 + z^2 = 9 e pelos planos x=0 ; y=0 ; z=0 e x + 2y = 2 no primeiro octante.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume de um sólido limitado por:
  • O cilindro ,
  • Os planos , , e ,
  • E estamos no primeiro octante, ou seja, onde , e são todos maiores ou iguais a zero.
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, que nos permitem calcular volumes de regiões 3D delimitadas por essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as restrições do sólido. O cilindro é um cilindro circular com raio 3, alinhado ao eixo y. Como estamos no primeiro octante, temos que e .
Os planos , e correspondem aos planos dos eixos x, y e z, respectivamente. O plano pode ser reescrito para expressar uma variável em termos das outras, por exemplo, .
Vamos precisar determinar os limites de integração para cada variável.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração para cada variável.
  • Para :
    Como e , quando , temos . Portanto, varia de 0 a 2.
  • Para :
    Para cada valor de , varia de 0 até .
  • Para :
    O cilindro nos dá . Como , então varia de 0 até .

Passo 4

Agora que temos os limites de integração, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Começamos integrando em relação a :
Então a integral fica:

Passo 6

Agora integramos em relação a :
Então a integral se simplifica para:

Passo 7

Vamos simplificar a integral:
Podemos dividir a integral em duas partes:

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Fazemos a substituição , então . Assim,

Passo 9

Aplicando os limites de integração na primeira integral:
Quando :
Quando :
Então a primeira integral avaliada é .
Para a segunda integral:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão para :
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é dado por:
ú

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