Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(f) é a parte do cone abaixo do plano e acima de , orientada para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone definido por , abaixo do plano e acima de . O fluxo vai ser orientado para baixo. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, vetores normais e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície . Ela é parte de um cone com equação , cortado pelo plano e pela base no plano . Isso significa que nosso cone vai do vértice na origem até o ponto onde .
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície do cone. Uma forma comum de parametrizar um cone é usando coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Aqui, vai de 0 a 4 (já que vai de 0 a 4) e varia de 0 a para cobrir toda a volta do círculo.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície orientado para baixo. Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções rr = partial rpartial r = cos theta i + sin theta j + k e rtheta = partial rpartial theta = -r sin theta i + r cos theta j :
n = rr times rtheta = (-cos theta i - sin theta j + r k)
n = -(-cos theta i - sin theta j + r k) = cos theta i + sin theta j - r k
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como queremos a orientação para baixo, tomamos o negativo do vetor normal:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n = (x)(cos theta) + (y)(sin theta) + (2z)(-r) . Substituindo F cdot n = r cos^2 theta + r sin^2 theta - 2r^2 e F cdot n = r (cos^2 theta + sin^2 theta) - 2r^2 = r (1) - 2r^2 = r - 2r^2 :
Substituindo as parametrizações , , e :
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora montar a integral de superfície. A integral de fluxo fica:
phi = integral duplasigma F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^4 (r - 2r^2) cdot r , dr , dtheta
Aqui, é dado pelo módulo do vetor normal, que é , mas já consideramos o na parametrização, então substituímos diretamente.