Calcule phi=integral duplasigma F cdot n d S, o fluxo de F através de sigma, em cada caso:
(f) F(x, y, z)=x i+y j+2 z k, sigma é a parte do cone z^2=x^2+y^2 abaixo do plano z=4 e acima de z=0, orientada para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone definido por , abaixo do plano e acima de . O fluxo vai ser orientado para baixo. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, vetores normais e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície . Ela é parte de um cone com equação , cortado pelo plano e pela base no plano . Isso significa que nosso cone vai do vértice na origem até o ponto onde .

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície do cone. Uma forma comum de parametrizar um cone é usando coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
x = r cos theta y = r sin theta z = r
Aqui, vai de 0 a 4 (já que vai de 0 a 4) e varia de 0 a para cobrir toda a volta do círculo.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície orientado para baixo. Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções rr = partial rpartial r = cos theta i + sin theta j + k e rtheta = partial rpartial theta = -r sin theta i + r cos theta j :
n = rr times rtheta = (-cos theta i - sin theta j + r k)
n = -(-cos theta i - sin theta j + r k) = cos theta i + sin theta j - r k
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como queremos a orientação para baixo, tomamos o negativo do vetor normal:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n = (x)(cos theta) + (y)(sin theta) + (2z)(-r) . Substituindo F cdot n = r cos^2 theta + r sin^2 theta - 2r^2 e F cdot n = r (cos^2 theta + sin^2 theta) - 2r^2 = r (1) - 2r^2 = r - 2r^2 :
Substituindo as parametrizações , , e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos agora montar a integral de superfície. A integral de fluxo fica:
phi = integral duplasigma F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^4 (r - 2r^2) cdot r , dr , dtheta
Aqui, é dado pelo módulo do vetor normal, que é , mas já consideramos o na parametrização, então substituímos diretamente.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a integral:
phi = integral0^2pi integral0^4 (r^2 - 2r^3) , dr , dtheta
Primeiro, integremos em relação a integral0^4 (r^2 - 2r^3) , dr = [ r^33 - 2r^44 ]0^4 = ( 643 - 5124 ) = 643 - 128 = 64 - 3843 = -3203 :
phi = integral0^2pi ( -3203 ) , dtheta = -3203 cdot 2pi = -640pi3
Agora, integremos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

Exercícios relacionados