Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(f) é a parte do cone abaixo do plano e acima de , orientada para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone definido por , abaixo do plano e acima de . O fluxo vai ser orientado para baixo. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, vetores normais e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície . Ela é parte de um cone com equação , cortado pelo plano e pela base no plano . Isso significa que nosso cone vai do vértice na origem até o ponto onde .

Passo 3

Vamos parametrizar a superfície do cone. Uma forma comum de parametrizar um cone é usando coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Aqui, vai de 0 a 4 (já que vai de 0 a 4) e varia de 0 a para cobrir toda a volta do círculo.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície orientado para baixo. Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como queremos a orientação para baixo, tomamos o negativo do vetor normal:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo e :
Substituindo as parametrizações , , e :
Simplificando:

Passo 6

Vamos agora montar a integral de superfície. A integral de fluxo fica:
Aqui, é dado pelo módulo do vetor normal, que é , mas já consideramos o na parametrização, então substituímos diretamente.

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a integral:
Primeiro, integremos em relação a :
Agora, integremos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

Exercícios relacionados

Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(b) é o quadrado no plano orientado positivamente;
Calcule a integral dupla: b.
Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de através de (orientada positivamente) em cada caso:
(b) , onde é a esfera
Use o Teorema de Stokes para calcular em cada caso: (suponha orientação positiva em todos os casos)
(d) é a interseção da esfera e o cone .