Calcule , o fluxo de através de , em cada caso:
(f) é a parte do cone abaixo do plano e acima de , orientada para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte do cone definido por , abaixo do plano e acima de . O fluxo vai ser orientado para baixo. Para resolver isso, a gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de superfícies, vetores normais e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície . Ela é parte de um cone com equação , cortado pelo plano e pela base no plano . Isso significa que nosso cone vai do vértice na origem até o ponto onde .
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície do cone. Uma forma comum de parametrizar um cone é usando coordenadas cilíndricas. Vamos definir:
Aqui, vai de 0 a 4 (já que vai de 0 a 4) e varia de 0 a para cobrir toda a volta do círculo.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície orientado para baixo. Para isso, calculamos os vetores tangentes às direções e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Como queremos a orientação para baixo, tomamos o negativo do vetor normal:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar . Substituindo e :
Substituindo as parametrizações , , e :
Simplificando:
Passo 6
Vamos agora montar a integral de superfície. A integral de fluxo fica:
Aqui, é dado pelo módulo do vetor normal, que é , mas já consideramos o na parametrização, então substituímos diretamente.
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a integral:
Primeiro, integremos em relação a :
Agora, integremos em relação a :
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície é .