Calcule a integral dupla.
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, onde
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que usamos para encontrar o volume sob a superfície dada pela função
sobre a região
. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração e integrar passo a passo em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é um retângulo no plano
onde
varia de 0 a 2 e
varia de 1 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Temos a função
, onde
é considerado constante em relação a
. A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos avaliar os limites de integração para
:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Simplificando:
Resposta
A integral dupla
vale
.