Calcule a integral dupla.
© integral duplaR x ln y d A, onde R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é definida por e . Isso está relacionado ao cálculo de integrais duplas, que usamos para encontrar o volume sob a superfície dada pela função sobre a região . Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração e integrar passo a passo em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região integralx=0^2 integraly=1^2 x ln y , dy , dx . Ela é um retângulo no plano onde varia de 0 a 2 e varia de 1 a 2. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral1^2 x ln y , dy = x [ y ln y - y ]1^2 . Temos a função , onde é considerado constante em relação a . A integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, vamos avaliar os limites de integração para 2 ln 2 - 2 :
Para 1 ln 1 - 1 = 0 - 1 = -1 :
x [ (2 ln 2 - 2) - (-1) ] = x (2 ln 2 - 1)
Para :
Subtraindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 x (2 ln 2 - 1) , dx = (2 ln 2 - 1) integral0^2 x , dx :
(2 ln 2 - 1) [ x^22 ]0^2 = (2 ln 2 - 1) ( 42 - 0 ) = (2 ln 2 - 1) times 2
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Simplificando:
2 (2 ln 2 - 1) = 4 ln 2 - 2

Resposta

A integral dupla vale .

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