Calcule a integral iterada.
(a) integral-1^1 integral1^e^x xy d y d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral iterada do tipo integral-1^1 integral1^e^x xy , dy , dx. Isso significa que vamos integrar a função xy primeiro em relação a y, dentro dos limites de 1 a e^x, e depois integrar o resultado em relação a x, de -1 a 1. Para resolver isso, precisamos entender como calcular integrais iteradas e aplicar as regras de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: integral1^e^x xy , dy. Aqui, tratamos x como uma constante porque estamos integrando em relação a y. A função a ser integrada é xy, que pode ser reescrita como x cdot 1y. A integral de 1y em relação a y é ln|y|, então:
integral xy , dy = x cdot ln|y| + C
Aplicando os limites de 1 a e^x:
x cdot ln(e^x) - x cdot ln(1)
Sabemos que ln(e^x) = x e ln(1) = 0, então isso simplifica para:
x cdot x - x cdot 0 = x^2

Passo 3

Agora que resolvemos a integral interna e obtivemos x^2, precisamos integrar isso em relação a x de -1 a 1:
integral-1^1 x^2 , dx
A integral de x^2 em relação a x é x^33, então aplicamos os limites:
x^33 |-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - (-13) = 13 + 13 = 23

Resposta

O valor da integral iterada é 23.

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