Calcule a integral tripla utilizando mudança de variáveis.
© integral triplaE raizx^2+y^2+z^2 d V, onde E é a interseção do hemisfério x^2+y^2+z^2 <= 4, z >= 0, com o cilindro x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Beleza, então temos que calcular a integral tripla de sobre a região . A região é onde o hemisfério (que é meio esfera de raio 2) se intersecta com o cilindro . Vamos usar mudança de variáveis, provavelmente indo para coordenadas esféricas, que facilitam muito esse tipo de cálculo envolvendo esferas e cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que na integral é simplesmente a distância do ponto até a origem, que em coordenadas esféricas é representada por . Então, nossa integral em coordenadas esféricas vai ter essa expressão mais simples.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, temos:
  • O elemento de volume
Vamos reescrever a região nessas coordenadas. O hemisfério implica que vai de 0 a . A esfera corresponde a . E o cilindro em coordenadas esféricas fica , ou seja, .

Passo 4

Para estabelecer os limites de integração, observamos que integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^min(2, 1sinphi) rho cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta vai de 0 até o mínimo entre 2 e integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^min(2, 1sinphi) rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta . Isso acontece porque dentro do cilindro, o raio não pode exceder , mas também não pode passar do raio da esfera, que é 2.
Então, nossa integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos determinar para quais valores de , é maior ou menor que 2. Resolvendo , temos , ou seja, .
Então, para , o limite superior de é , e para , o limite é 2.

Passo 6

Vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De integral0^2pi integral0^pi6 integral0^1sinphi rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta a integral0^2pi integralpi6^pi2 integral0^2 rho^3 sinphi , drho , dphi , dtheta :
  1. De a :

Passo 7

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi6 sinphi , dphi cdot integral0^1sinphi rho^3 , drho
Integrando em integral0^1sinphi rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1sinphi = 14 sin^4phi :
2pi cdot integral0^pi6 14 sin^3phi , dphi = pi2 integral0^pi6 1sin^3phi , dphi
Então, a primeira parte fica:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou tabelas de integrais.

Passo 8

Agora, a segunda integral:
integral0^2pi dtheta cdot integralpi6^pi2 sinphi , dphi cdot integral0^2 rho^3 , drho
Integrando em integral0^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^2 = 164 = 4 :
2pi cdot integralpi6^pi2 4 sinphi , dphi = 8pi integralpi6^pi2 sinphi , dphi
Então, a segunda parte fica:
8pi [ -cosphi ]pi6^pi2 = 8pi ( -0 + raiz32 ) = 4pi raiz3
Integrando em :

Passo 9

Voltando à primeira parte, a integral integral 1sin^3phi dphi = integral csc^3phi , dphi = -cscphi cotphi2 + 12 ln | tanphi2 | + C pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:
pi2 [ -cscphi cotphi2 + 12 ln | tanphi2 | ]0^pi6
Aplicando os limites de a :
Resolvendo isso, obtemos uma contribuição adicional que, somada à segunda parte, dará o resultado final.

Resposta

Após calcular ambas as partes da integral, o valor final da integral tripla é .

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