Beleza, então temos que calcular a integral tripla de sobre a região . A região é onde o hemisfério (que é meio esfera de raio 2) se intersecta com o cilindro . Vamos usar mudança de variáveis, provavelmente indo para coordenadas esféricas, que facilitam muito esse tipo de cálculo envolvendo esferas e cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que na integral é simplesmente a distância do ponto até a origem, que em coordenadas esféricas é representada por . Então, nossa integral em coordenadas esféricas vai ter essa expressão mais simples.
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, temos:
O elemento de volume
Vamos reescrever a região nessas coordenadas. O hemisfério implica que vai de 0 a . A esfera corresponde a . E o cilindro em coordenadas esféricas fica , ou seja, .
Passo 4
Para estabelecer os limites de integração, observamos que vai de 0 até o mínimo entre 2 e . Isso acontece porque dentro do cilindro, o raio não pode exceder , mas também não pode passar do raio da esfera, que é 2.
Então, nossa integral fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos determinar para quais valores de , é maior ou menor que 2. Resolvendo , temos , ou seja, .
Então, para , o limite superior de é , e para , o limite é 2.
Passo 6
Vamos dividir a integral em duas partes:
De a :
De a :
Passo 7
Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em :
Então, a primeira parte fica:
Essa integral pode ser resolvida usando substituições trigonométricas ou tabelas de integrais.
Passo 8
Agora, a segunda integral:
Integrando em :
Então, a segunda parte fica:
Integrando em :
Passo 9
Voltando à primeira parte, a integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:
Aplicando os limites de a :
Resolvendo isso, obtemos uma contribuição adicional que, somada à segunda parte, dará o resultado final.
Resposta
Após calcular ambas as partes da integral, o valor final da integral tripla é .