Se x=u(r, s, t) e y=v(r, s, t) e z=f(x, y), escreva uma fórmula para partial zpartial r e partial zpartial t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre derivadas parciais e a regra da cadeia. A gente tem três funções interligadas: , e . Nosso objetivo é achar as fórmulas para e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a encontrar derivadas quando as funções estão compostas umas nas outras.

Passo 2

Vamos começar encontrando partial zpartial r = partial fpartial x cdot partial upartial r + partial fpartial y cdot partial vpartial r . Primeiro, vamos lembrar que depende de e , que por sua vez dependem de . Então, usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis, temos:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente. Já e são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular partial zpartial t = partial fpartial x cdot partial upartial t + partial fpartial y cdot partial vpartial t da mesma forma. Sabendo que depende de e , que dependem de , a regra da cadeia nos dá:
Assim como antes, e são as derivadas de e em relação a .

Resposta

As fórmulas para as derivadas parciais são:
partial zpartial r = partial fpartial x cdot partial upartial r + partial fpartial y cdot partial vpartial r
partial zpartial t = partial fpartial x cdot partial upartial t + partial fpartial y cdot partial vpartial t

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