(Momento de Inércia) Se
é um corpo com densidade volumétrica
então define-se o momento de inércia de
em relação a um eixo fixo por
onde
é a distância do ponto
ao eixo e
(a) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo
, do cubo
,
e
supondo que a densidade em
seja
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo que vai de
a
em todas as direções
,
e
. A densidade desse cubo em qualquer ponto
é igual a
. Nosso objetivo é calcular o momento de inércia desse cubo em relação ao eixo
. Para isso, vamos usar a fórmula do momento de inércia:
Aqui,
é a distância de um ponto qualquer do cubo ao eixo
, e
é um elemento de massa no cubo. Vamos precisar entender o que são essas quantidades e como integrá-las sobre todo o cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão para
, que é a distância de um ponto
ao eixo
. No caso do eixo
, essa distância é simplesmente a distância no plano
, ou seja:
Portanto,
Agora, sabemos que a densidade
, então o elemento de massa
é:
Substituindo
e
na fórmula do momento de inércia, temos:
Passo 3
Vamos separar a integral tripla. Como estamos integrando sobre um cubo onde
, os limites de integração são fáceis:
Observamos que a expressão dentro da integral não depende de
, então a integral em
é simples:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular as integrais em
e
separadamente.
Primeiro, a integral em
:
Agora, integraremos isso em
:
Resposta
O momento de inércia do cubo em relação ao eixo
é
.