(Momento de Inércia) Se B é um corpo com densidade volumétrica de então define-se o momento de inércia de B em relação a um eixo fixo por
I=integral triplaB r^2 d m
onde r=r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo e
d m=de
(a) Calcule o momento de inércia, em relação ao eixo z, do cubo 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1 supondo que a densidade em (x, y, z) seja x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo que vai de I = integral triplaB r^2 , dm a em todas as direções , e . A densidade desse cubo em qualquer ponto é igual a . Nosso objetivo é calcular o momento de inércia desse cubo em relação ao eixo . Para isso, vamos usar a fórmula do momento de inércia:
Aqui, é a distância de um ponto qualquer do cubo ao eixo , e é um elemento de massa no cubo. Vamos precisar entender o que são essas quantidades e como integrá-las sobre todo o cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para r = raizx^2 + y^2 , que é a distância de um ponto r^2 = x^2 + y^2 ao eixo dm = de. No caso do eixo I = integral triplaB (x^2 + y^2) cdot x , dx , dy , dz , essa distância é simplesmente a distância no plano , ou seja:
Portanto,
Agora, sabemos que a densidade , então o elemento de massa é:
Substituindo e na fórmula do momento de inércia, temos:

Passo 3

Vamos separar a integral tripla. Como estamos integrando sobre um cubo onde I = integral0^1 integral0^1 integral0^1 (x^3 + x y^2) , dz , dy , dx , os limites de integração são fáceis:
integral0^1 dz = 1
Observamos que a expressão dentro da integral não depende de I = integral0^1 integral0^1 (x^3 + x y^2) , dy , dx , então a integral em é simples:
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as integrais em integral0^1 (x^3 + x y^2) , dy = integral0^1 x^3 , dy + integral0^1 x y^2 , dy = x^3 cdot 1 + x cdot 13 = x^3 + x3 e I = integral0^1 ( x^3 + x3 ) , dx = integral0^1 x^3 , dx + 13 integral0^1 x , dx = 14 + 13 cdot 12 = 14 + 16 = 512 separadamente.
Primeiro, a integral em :
Agora, integraremos isso em :

Resposta

O momento de inércia do cubo em relação ao eixo é .

Exercícios relacionados