Calcule
e
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. O enunciado nos dá que
, onde
e
. Vamos usar o conceito de derivadas parciais de funções compostas, aplicando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, vamos aplicar a regra da cadeia:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas individuais:
-
- Isso porque
, e a derivada de em relação a é apenas .
- Isso porque
-
- Já que
, a derivada de em relação a é 1.
- Já que
-
- Aqui, derivamos
em rela�o a , que resulta em .
- Aqui, derivamos
-
- Porque
, a derivada de em relação a é .
- Porque
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão original para
:
Passo 5
Fazemos um processo semelhante para calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Calculamos novamente cada uma dessas derivadas individuais:
-
- Igual ao que calculamos antes.
-
- Já que
, a derivada de em relação a também é 1.
- Já que
-
- Igual ao passo anterior.
-
- Porque
, a derivada de em relação a é .
- Porque
Passo 7
Substituímos essas derivadas na expressão para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine os extremantes locais da função
.
Determine a taxa de variação (derivada direcional) de
, no ponto
, na direção do vetor
.
Calcule a integral dupla
(a) , trocando a ordem de integração.
(a)
Calcule a integral dupla
© , usando a mudança de variáveis
e
, em que
é o retângulo limitado pelas retas
0 e
.
©