Calcule e , onde e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá que , onde e . Vamos usar o conceito de derivadas parciais de funções compostas, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Como depende de e , que por sua vez dependem de e , vamos aplicar a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas individuais:
    • Isso porque , e a derivada de em relação a é apenas .
    • Já que , a derivada de em relação a é 1.
    • Aqui, derivamos em relaç��o a , que resulta em .
    • Porque , a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão original para :

Passo 5

Fazemos um processo semelhante para calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Calculamos novamente cada uma dessas derivadas individuais:
    • Igual ao que calculamos antes.
    • Já que , a derivada de em relação a também é 1.
    • Igual ao passo anterior.
    • Porque , a derivada de em relação a é .

Passo 7

Substituímos essas derivadas na expressão para :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Calcule a integral dupla
(a) , trocando a ordem de integração.
Calcule a integral dupla
© , usando a mudança de variáveis e , em que é o retângulo limitado pelas retas 0 e .