Calcule partial zpartial x e partial zpartial y, onde z=f(u, v)=u cos v, u=x+y e v=x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e . O enunciado nos dá que , onde e . Vamos usar o conceito de derivadas parciais de funções compostas, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial x = partial zpartial u cdot partial upartial x + partial zpartial v cdot partial vpartial x em relação a . Como depende de e , que por sua vez dependem de e , vamos aplicar a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas individuais:
    • Isso porque , e a derivada de em relação a é apenas .
    • Já que , a derivada de em relação a é 1.
    • Aqui, derivamos em relaç��o a , que resulta em .
    • Porque , a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão original para partial zpartial x = cos v cdot 1 + (-u sin v) cdot y = cos v - u y sin v :

Passo 5

Fazemos um processo semelhante para calcular a derivada parcial de partial zpartial y = partial zpartial u cdot partial upartial y + partial zpartial v cdot partial vpartial y em relação a :

Passo 6

Calculamos novamente cada uma dessas derivadas individuais:
    • Igual ao que calculamos antes.
    • Já que , a derivada de em relação a também é 1.
    • Igual ao passo anterior.
    • Porque , a derivada de em relação a é .

Passo 7

Substituímos essas derivadas na expressão para partial zpartial y = cos v cdot 1 + (-u sin v) cdot x = cos v - u x sin v :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = cos v - u y sin v
partial zpartial y = cos v - u x sin v

Exercícios relacionados