Calcule a integral dupla
(a) , trocando a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e, especificamente, trocar a ordem de integração para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como reconfigurar os limites de integração e aplicar técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de 0 a 8, e para cada , varia de até 2. Isso significa que estamos olhando para a área onde e .
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando que , podemos reescrever os limites:
varia de 0 a 2.
Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a primeiro. Como não depende de , a integral interna é simples:
Passo 5
Agora, restou apenas integrar em relação a :
Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja , então ou . Substituindo: