Calcule a integral dupla
(a) integral0^8 integralraiz[3]y^2 e^x^4 d x d y, trocando a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e, especificamente, trocar a ordem de integração para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como reconfigurar os limites de integração e aplicar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de 0 a 8, e para cada , varia de até 2. Isso significa que estamos olhando para a área onde e .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar integral0^2 integral0^x^3 e^x^4 , dy , dx em termos de . Observando que , podemos reescrever os limites:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^x^3 e^x^4 , dy = e^x^4 cdot y |0^x^3 = e^x^4 cdot x^3 primeiro. Como não depende de , a integral interna é simples:

Passo 5

Agora, restou apenas integrar em relação a integral0^2 e^x^4 cdot x^3 , dx :
14 integral0^16 e^u , du = 14 ( e^u ) |0^16 = 14 (e^16 - e^0) = e^16 - 14
Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja , então ou . Substituindo:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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