Calcule a integral dupla
(a) , trocando a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais duplas e, especificamente, trocar a ordem de integração para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como reconfigurar os limites de integração e aplicar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Originalmente, varia de 0 a 8, e para cada , varia de até 2. Isso significa que estamos olhando para a área onde e .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando que , podemos reescrever os limites:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , varia de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a primeiro. Como não depende de , a integral interna é simples:

Passo 5

Agora, restou apenas integrar em relação a :
Vamos usar uma substituição para facilitar. Seja , então ou . Substituindo:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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Determine os extremantes locais da função .
Calcule a integral dupla
© , usando a mudança de variáveis e , em que é o retângulo limitado pelas retas 0 e .
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