Calcule
para o campo vetorial
dado e a superfície orientada
.
é o hemisfério
, orientado para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
para o campo vetorial
sobre a superfície
, que é o hemisfério definido por
com
, orientado para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície e o teorema de Gauss (também conhecido como teorema da divergência).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície
. Essa integral calcula o fluxo do campo vetorial
através da superfície
. O fluxo representa a quantidade de “movimento” do campo vetorial passando pela superfície.
Passo 3
Para calcular essa integral, podemos usar o teorema de Gauss, que relaciona a integral de superfície do campo
sobre
à integral de volume da divergência de
no interior de
. A fórmula do teorema de Gauss é:
onde
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a diverg��ncia de
, que é
. Para o campo
, temos:
Passo 5
Agora, aplicando o teorema de Gauss, a integral de superfície
é igual à integral de volume de 2 sobre o volume
:
Passo 6
O volume
é a metade de uma esfera de raio 2, já que
é o hemisfério
. O volume de uma esfera completa de raio
é
, então o volume de
é metade disso:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos o volume por 2: