Calcule integral dupla F d S para o campo vetorial F dado e a superfície orientada S. F(x, y, z)=y i-x j+2 z k, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=4, z >= 0, orientado para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície para o campo vetorial sobre a superfície , que é o hemisfério definido por com , orientado para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície e o teorema de Gauss (também conhecido como teorema da divergência).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície . Essa integral calcula o fluxo do campo vetorial através da superfície . O fluxo representa a quantidade de “movimento” do campo vetorial passando pela superfície.

Passo 3

Para calcular essa integral, podemos usar o teorema de Gauss, que relaciona a integral de superfície do campo integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV sobre à integral de volume da divergência de no interior de . A fórmula do teorema de Gauss é:
onde é o volume limitado pela superfície .

Passo 4

Vamos calcular a diverg��ncia de nabla cdot F = partialpartial x(y) + partialpartial y(-x) + partialpartial z(2z) = 0 + 0 + 2 = 2 , que é . Para o campo , temos:

Passo 5

Agora, aplicando o teorema de Gauss, a integral de superfície integral duplaS F cdot dS = integral triplaV 2 , dV = 2 cdot Volume de V é igual à integral de volume de 2 sobre o volume :

Passo 6

O volume Volume de V = 12 cdot 43pi (2)^3 = 12 cdot 323pi = 163pi é a metade de uma esfera de raio 2, já que é o hemisfério . O volume de uma esfera completa de raio é , então o volume de é metade disso:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o volume por 2:
integral duplaS F cdot dS = 2 cdot 163pi = 323pi

Resposta

integral dupla F cdot dS = 323pi

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