Calcule para o campo vetorial dado e a superfície orientada . é o hemisfério , orientado para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície para o campo vetorial sobre a superfície , que é o hemisfério definido por com , orientado para baixo. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de superfície e o teorema de Gauss (também conhecido como teorema da divergência).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície . Essa integral calcula o fluxo do campo vetorial através da superfície . O fluxo representa a quantidade de “movimento” do campo vetorial passando pela superfície.

Passo 3

Para calcular essa integral, podemos usar o teorema de Gauss, que relaciona a integral de superfície do campo sobre à integral de volume da divergência de no interior de . A fórmula do teorema de Gauss é:
onde é o volume limitado pela superfície .

Passo 4

Vamos calcular a diverg��ncia de , que é . Para o campo , temos:

Passo 5

Agora, aplicando o teorema de Gauss, a integral de superfície é igual à integral de volume de 2 sobre o volume :

Passo 6

O volume é a metade de uma esfera de raio 2, já que é o hemisfério . O volume de uma esfera completa de raio é , então o volume de é metade disso:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o volume por 2:

Resposta

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