Deduza a fórmula para o volume do tronco de um cone circular reto, rotocionando o segmento de reta de (0, b) a (h, a) em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente deduzir a fórmula do volume de um tronco de cone circular reto. Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente no estudo de volumes por rotação. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais e entender como calcular volumes através da rotação de uma função ao redor do eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta que estamos rotacionando. A reta passa pelos pontos (0, b) e (h, a). Para encontrar a equação dessa reta, usamos a fórmula da equação da reta: , onde m é a inclinação e c é o intercepto.

Passo 3

Vamos calcular a inclinação m. A inclinação é dada por:
Então, a equação da reta fica:

Passo 4

Agora, para encontrar o volume do tronco de cone formado pela rotação dessa reta em torno do eixo x, usamos o método dos discos. A fórmula geral para o volume é:
Vamos substituir y pela equação da reta que encontramos.

Passo 5

Substituindo na integral:
Vamos expandir o quadrado:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Aplicando as integrais:
Simplificando cada termo:

Passo 8

Juntando tudo:
Fatorando h e simplificando os termos dentro do parêntese:
Expandindo :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A fórmula para o volume do tronco de um cone circular reto é:

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