Deduza a fórmula do volume de uma pirâmide reta com altura h e cuja base é um quadrado de lado s. Utilize seções transversais ao eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente deduzir a fórmula do volume de uma pirâmide reta. Essa pirâmide tem uma base que é um quadrado com lado e uma altura . Além disso, vamos usar seções transversais ao eixo pra chegar na resposta. Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de geometria espacial e, possivelmente, integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a pirâmide. Uma pirâmide reta tem todas as suas faces laterais triangulares que se encontram num ponto chamado vértice. A base é um quadrado com lado , então a área da base é .

Passo 3

Agora, para encontrar o volume usando seções transversais ao eixo , vamos imaginar que o eixo está passando pela altura da pirâmide. Vamos dividir a pirâmide em fatias fininhas perpendicularmente ao eixo .

Passo 4

Em cada fatia a uma distância da base, a seção transversal será um quadrado menor. À medida que nos movemos de (a base) até (o vértice), o tamanho do lado desse quadrado diminui proporcionalmente.

Passo 5

Vamos encontrar a relação entre e o lado dessa seção transversal. Quando , . Quando , . Essa relação é linear, então podemos escrever:

Passo 6

A área da seção transversal nessa posição é:

Passo 7

Para encontrar o volume total da pirâmide, vamos integrar essa área de até :

Passo 8

Vamos resolver a integral:

Resposta

O volume da pirâmide é:

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