Deduza a fórmula do volume de uma pirâmide reta com altura
e cuja base é um quadrado de lado s. Utilize seções transversais ao eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente deduzir a fórmula do volume de uma pirâmide reta. Essa pirâmide tem uma base que é um quadrado com lado
e uma altura
. Além disso, vamos usar seções transversais ao eixo
pra chegar na resposta. Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de geometria espacial e, possivelmente, integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a pirâmide. Uma pirâmide reta tem todas as suas faces laterais triangulares que se encontram num ponto chamado vértice. A base é um quadrado com lado
, então a área da base é
.
Passo 3
Agora, para encontrar o volume usando seções transversais ao eixo
, vamos imaginar que o eixo
está passando pela altura da pirâmide. Vamos dividir a pirâmide em fatias fininhas perpendicularmente ao eixo
.
Passo 4
Em cada fatia a uma distância
da base, a seção transversal será um quadrado menor. À medida que nos movemos de
(a base) até
(o vértice), o tamanho do lado desse quadrado diminui proporcionalmente.
Passo 5
Vamos encontrar a relação entre
e o lado
dessa seção transversal. Quando
,
. Quando
,
. Essa relação é linear, então podemos escrever:
Passo 6
A área da seção transversal nessa posição
é:
Passo 7
Para encontrar o volume total da pirâmide, vamos integrar essa área de
até
:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Resposta
O volume da pirâmide é:
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para o campo vetorial
dado e a superfície orientada
.
é o hemisfério
, orientado para baixo.
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a
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.
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.