Calcule a integral dupla.
d)
é a região limitada pelas retas
e pela hipérbole
.
d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla:
Onde
é a região limitada pelas retas
,
e pela hipérbole
. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e geometria para resolver isso. Precisamos identificar bem a região
para determinar os limites de integração.
Passo 2
Vamos desenhar as curvas que delimitam a região
:
- Reta
: É uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus. - Reta
: É uma linha horizontal que intercepta o eixo no ponto . - Hipérbole
: Podemos reescrever essa equação como , que é uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites da região
:
-
Interseção entre
e : -
Interseção entre
e : Então, o ponto é. -
Interseção entre
e : Então, o ponto é.
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, podemos descrever a região
:
- O eixo
varia de a . - Para
entre e : -
varia de até .
-
- Para
entre e : -
varia de até .
-
Passo 5
Vamos dividir a integral dupla em duas partes, correspondendo aos intervalos de
que definimos:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Aplicando os limites de
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de
:
Após cálculos, obtemos:
Passo 8
Vamos resolver a segunda integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Aplicando os limites de
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de
:
Passo 10
Finalmente, somamos as duas partes que calculamos:
Resposta
A integral dupla vale
.