Calcule a integral dupla.
d) integral duplaR y^2x^2 d A ; R é a região limitada pelas retas y=x, y=2 e pela hipérbole x y=1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla:
integral duplaR y^2x^2 , dA
Onde é a região limitada pelas retas , e pela hipérbole . Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais duplas e geometria para resolver isso. Precisamos identificar bem a região para determinar os limites de integração.

Passo 2

Vamos desenhar as curvas que delimitam a região :
  1. Reta : É uma linha que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  2. Reta : É uma linha horizontal que intercepta o eixo no ponto .
  3. Hipérbole : Podemos reescrever essa equação como , que é uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites da região x = 2 Rightarrow (2, 2) :
  1. Interseção entre x = 1x Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = 1 (como x > 0) e 2 = 1x Rightarrow x = 12 :
  2. Interseção entre e :
    Então, o ponto é .
  3. Interseção entre e :
    Então, o ponto é .

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, podemos descrever a região :
  • O eixo varia de a .
  • Para entre e :
    • varia de até .
  • Para entre e :
    • varia de até .

Passo 5

Vamos dividir a integral dupla em duas partes, correspondendo aos intervalos de integral duplaR y^2x^2 , dA = integral12^1 integral1x^2 y^2x^2 , dy , dx + integral1^2 integral1x^x y^2x^2 , dy , dx que definimos:

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral12^1 integral1x^2 y^2x^2 , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral y^2x^2 , dy = 1x^2 cdot y^33 = y^33 x^2 :
[ 2^33 x^2 - ( 1x )^33 x^2 ] = 83 x^2 - 13 x^5
Aplicando os limites de :

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral12^1 ( 83 x^2 - 13 x^5 ) , dx :
integral 83 x^2 , dx = -83 x
Integrando termo a termo:
integral 13 x^5 , dx = -112 x^4
[ -83 x + 112 x^4 ]12^1 = ( -83 + 112 ) - ( -163 + 112 cdot ( 12 )^4 )
Aplicando os limites de 1712 :
Após cálculos, obtemos:

Passo 8

Vamos resolver a segunda integral:
integral1^2 integral1x^x y^2x^2 , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y^33 x^2 :
[ x^33 x^2 - ( 1x )^33 x^2 ] = x3 - 13 x^5
Aplicando os limites de :

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral1^2 ( x3 - 13 x^5 ) , dx :
integral x3 , dx = x^26
Integrando termo a termo:
integral 13 x^5 , dx = -112 x^4
[ x^26 - 112 x^4 ]1^2 = ( 46 - 1192 ) - ( 16 - 112 ) = 3764
Aplicando os limites de :

Passo 10

Finalmente, somamos as duas partes que calculamos:
1712 + 3764 = 383192

Resposta

A integral dupla vale .

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