Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
e)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla:
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de integrais múltiplas e regiões de integração na matéria de Cálculo. Vamos precisar entender como esboçar a região de integração no plano cartesiano e depois mudar a ordem de integração para resolver a integral mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa vai de
até
, e para cada valor de
, a integral interna vai de
até
. Isso significa que a região que estamos integrando está limitada por essas curvas.
Passo 3
Vamos esboçar essa região no plano
. A curva
é uma parábola que abre para a esquerda, com o vértice no ponto
. Quando
varia de 0 a 2,
varia de 0 a
. Então, a região de integração está entre a parábola
e a reta
, de
a
.
Passo 4
Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. Queremos inverter isso: integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos reescrever os limites.
Passo 5
Para
, observamos que ele varia de 0 até 4, já que quando
,
. Para cada valor de
,
varia de 0 até
, que vem da equação
resolvida para
.
Passo 6
Então, a nova ordem de integração fica: primeiro integrar de
até
, e depois de
até
.
Passo 7
Portanto, a integral com a ordem de integração trocada fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada é: