Esboce a região de integração e mude a ordem de integração.
e) integral0^2 integral0^4-y^2 y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral dupla: . Esse tipo de problema faz parte do estudo de integrais múltiplas e regiões de integração na matéria de Cálculo. Vamos precisar entender como esboçar a região de integração no plano cartesiano e depois mudar a ordem de integração para resolver a integral mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A integral externa vai de até , e para cada valor de , a integral interna vai de até . Isso significa que a região que estamos integrando está limitada por essas curvas.

Passo 3

Vamos esboçar essa região no plano . A curva é uma parábola que abre para a esquerda, com o vértice no ponto . Quando varia de 0 a 2, varia de 0 a . Então, a região de integração está entre a parábola e a reta , de a .

Passo 4

Agora, vamos mudar a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Queremos inverter isso: integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites.

Passo 5

Para , observamos que ele varia de 0 até 4, já que quando , . Para cada valor de , varia de 0 até , que vem da equação resolvida para .

Passo 6

Então, a nova ordem de integração fica: primeiro integrar de até , e depois de até .

Passo 7

Portanto, a integral com a ordem de integração trocada fica:
integral0^4 integral0^raiz4 - x y , dy , dx

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada é:
integral0^4 integral0^raiz4 - x y , dy , dx

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