Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada das funções: f(x) = e^(2 x) / (x^2 + 1)^4

Passo 1

Beleza, então temos que encontrar a derivada da função usando a regra da cadeia. Isso envolve calcular a taxa de variação dessa função em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da regra do produto. Podemos escrever:
Agora, identificamos duas partes nessa multiplicação:

Passo 3

Segundo, vamos lembrar da regra do produto, que diz que a derivada de é:
Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 4

Vamos calcular . A função é uma função exponencial, e a derivada dela é:
Isso porque a derivada de é , onde é uma constante.

Passo 5

Agora, vamos calcular . A função é uma função composta, então usamos a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos a parte externa :
Agora, derivamos a parte interna :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar e :
Expandindo o que está dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:

Resposta

A derivada da função é:

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