Utilizando a regra da cadeia, encontre a derivada das funções:
Passo 1
Beleza, então temos que encontrar a derivada da função
usando a regra da cadeia. Isso envolve calcular a taxa de variação dessa função em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da regra do produto. Podemos escrever:
Agora, identificamos duas partes nessa multiplicação:
Passo 3
Segundo, vamos lembrar da regra do produto, que diz que a derivada de
é:
Ou seja, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 4
Vamos calcular
. A função
é uma função exponencial, e a derivada dela é:
Isso porque a derivada de
é
, onde
é uma constante.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. A função
é uma função composta, então usamos a regra da cadeia.
Primeiro, derivamos a parte externa
:
Agora, derivamos a parte interna
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar
e
:
Expandindo o que está dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:
Resposta
A derivada da função é: