Calcule a integral dupla e esboce a região de integração.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
onde a região
é definida por
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades acumuladas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração corretamente e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Temos
, então
varia de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de
a
. Isso cria uma região em forma de losango ou diamante no plano
, simétrica em relação ao eixo
.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla com os limites que identificamos. A integral fica:
Aqui, integramos primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 0 a 2.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos fatorá-lo:
Passo 5
Agora, integramos
em relação a
:
Aplicando os limites:
Multiplicando de volta por
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Fatorando a constante:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a expressão
com
e
. Determine o polinômio
e as constantes
e
tais que
e
, com
e
.
Usando a Regra de Lf)
b) Sabendo que o termo independente de
A reta tangente à curva
no ponto
tem coeficiente angular igual a:
(A) 10
(B) 20
© 15
(D) 12
(E) 5
(A) 10
(B) 20
© 15
(D) 12
(E) 5