Calcule a integral dupla e esboce a região de integração. integral duplaD x^3 y^2 d A, D=(x, y) mid 0 <= x <= 2,-x <= y <= x ; Resp.: 256 / 21

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla onde a região é definida por e . Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que servem para calcular volumes sob superfícies ou outras quantidades acumuladas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração corretamente e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Temos , então varia de 0 a 2. Para cada valor de , varia de a . Isso cria uma região em forma de losango ou diamante no plano , simétrica em relação ao eixo .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla com os limites que identificamos. A integral fica:
integralx=0^2 integraly=-x^x x^3 y^2 , dy , dx
Aqui, integramos primeiro em relação a de a , e depois em relação a de 0 a 2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integraly=-x^x x^3 y^2 , dy :
x^3 integraly=-x^x y^2 , dy
Como é constante em relação a , podemos fatorá-lo:

Passo 5

Agora, integramos integral y^2 , dy = y^33 em relação a (x)^33 - (-x)^33 = x^33 - (-x^33) = 2x^33 :
x^3 cdot 2x^33 = 2x^63
Aplicando os limites:
Multiplicando de volta por :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^2 2x^63 , dx
Fatorando a constante:
23 integral0^2 x^6 , dx

Passo 7

Vamos integrar integral x^6 , dx = x^77 em relação a 23 ( 2^77 - 0^77 ) = 23 cdot 1287 = 25621 :
Aplicando os limites de 0 a 2:

Resposta

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