Considere a expressão
P(x) = (x^4 + x^2 + 1) / (x^2 - 1)
com x != 1 e x != -1. Determine o polinômio q(x) e as constantes A, B e C tais que P(x) = q(x) + A / (x^2 - 1) e A/(x^2-1) = B/(x-1) + C/(x+1), com x != 1 e x != -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a expressão com e . Nosso objetivo é encontrar um polinômio e constantes , e que satisfaçam a igualdade:
e também:
Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais, que são técnicas da Matemática que ajudam a simplificar expressões racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio pelo denominador . Isso nos dará o polinômio e o resto dessa divisão, que será a nossa constante .
Vamos dividir:
Para dividir, observamos que dividido por . Multiplicamos por :
Subtraímos isso do polinômio original:
Então, a divisão ficou:
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, expressamos usando o resultado da divisão:
Mas, nosso objetivo é ter como uma única constante. Observando que no passo anterior, o resto ainda depende de , percebemos que precisamos ajustar nossa divisão para encontrar um resto que seja uma constante.
Na verdade, houve um erro na divisão. Vamos refazer corretamente:
Dividindo por :
  • Multiplicamos por e subtraímos:
Agora, dividimos por , que dá . Multiplicamos por e subtraímos:
Então, a divisão correta é:
Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos decompor em frações parciais. Sabemos que:
Para encontrar e , vamos somar as frações do lado direito:
Igualando os numeradores:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
  1. Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 5

Agora, temos todos os valores:
Portanto, a expressão original pode ser escrita como:

Resposta

O polinômio e as constantes são:
Então, a expressão original fica:

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