Considere a expressão
com
e
. Determine o polinômio
e as constantes
e
tais que
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a expressão
com
e
. Nosso objetivo é encontrar um polinômio
e constantes
,
e
que satisfaçam a igualdade:
e também:
Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão de polinômios e a decomposição em frações parciais, que são técnicas da Matemática que ajudam a simplificar expressões racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a divisão do polinômio
pelo denominador
. Isso nos dará o polinômio
e o resto dessa divisão, que será a nossa constante
.
Vamos dividir:
Para dividir, observamos que
dividido por
dá
. Multiplicamos
por
:
Subtraímos isso do polinômio original:
Então, a divisão ficou:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, expressamos
usando o resultado da divisão:
Mas, nosso objetivo é ter
como uma única constante. Observando que no passo anterior, o resto
ainda depende de
, percebemos que precisamos ajustar nossa divisão para encontrar um resto que seja uma constante.
Na verdade, houve um erro na divisão. Vamos refazer corretamente:
Dividindo
por
:
-
- Multiplicamos
por e subtraímos:
Agora, dividimos
por
, que dá
. Multiplicamos
por
e subtraímos:
Então, a divisão correta é:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos decompor
em frações parciais. Sabemos que:
Para encontrar
e
, vamos somar as frações do lado direito:
Igualando os numeradores:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
-
→ - Substituindo na segunda equação:
Então:
Passo 5
Agora, temos todos os valores:
Portanto, a expressão original pode ser escrita como:
Resposta
O polinômio e as constantes são:
Então, a expressão original fica:
Exercícios relacionados
Usando a Regra de Lf)
a) Determine o resto da divisão de
Calcule a integral dupla e esboce a região de integração.
Resp.:
b) Sabendo que o termo independente de