P(x) é um polinômio de grau ≥ 2, tal que P(1) = 2 e P(2)=1. Sejam D(x)=(x-2)(x-1) e Q(x) o quociente da divisão de P(x) por D(x).
b) Sabendo que o termo independente de P(x) é igual a 8 , determine o termo independente de Q(x).

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos um polinômio de grau pelo menos 2 que satisfaz e . Além disso, sabemos que o termo independente de é 8. O polinômio divisor é , e é o quociente da divisão de por . Nosso objetivo é determinar o termo independente de .
Conteúdo Necessário:
Para resolver esse exercício, vamos precisar entender a divisão de polinômios, identificar o quociente e o resto dessa divisão, e utilizar as condições fornecidas para encontrar os valores desejados.

Passo 2

Divisão de Polinômios:
Quando dividimos um polinômio por outro polinômio , obtemos:
Onde:
  • é o quociente da divisão.
  • é o resto da divisão.
Como é um polinômio de grau 2, o resto deve ser de grau menor que 2. Portanto, podemos escrever:

Passo 3

Aplicando as Condições do Enunciado:
Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na equação da divisão para encontrar .
  1. Para :
Calculando :
Então:
  1. Para :
Calculando :
Então:
Sistema de Equações:
Com , temos:
Resolvendo o Sistema:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, o resto é:

Passo 4

Encontrando o Termo Independente de :
Sabemos que o termo independente de é 8, ou seja, .
Substituindo na equação da divisão:
Calculando :
E :
Substituindo na equação:
Resolvendo para :

Resposta

O termo independente de é .

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