Calcule a integral tripla , sendo: e e
(Identifique as superfícies que limitam o sólido ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular uma integral tripla sobre um sólido definido por algumas condições, e também identificar quais são as superfícies que limitam esse sólido. Vamos usar conceitos de cálculo integral em três dimensões, especificamente integrais triplas, e também vamos precisar entender um pouco de geometria espacial para identificar essas superfícies. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com situações envolvendo esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o sólido representa. As condições que definem são:
Vamos analisar cada uma delas para identificar as superfícies que limitam .
Passo 3
A primeira condição, , pode ser reescrita elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isso representa um cone de abertura para cima com eixo .
Passo 4
A segunda condição, , é a equação de uma esfera com raio centrada na origem. Essa esfera delimita de fora o sólido .
Passo 5
A terceira condição, , pode ser rearranjada para facilitar a identificação da superfície:
Completando o quadrado para :
Isso representa o exterior de uma esfera de raio 2 centrada no ponto .
Passo 6
Agora que identificamos as superfícies que limitam :
Cone:
Esfera maior:
Esfera menor deslocada:
Essas superfícies definem o espaço onde vamos calcular a integral tripla.
Passo 7
Para calcular a integral tripla , vamos usar coordenadas esféricas, onde:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 8
Vamos determinar os limites de integração para 3(rho cosphi)^2 = rho^2 sin^2phi Rightarrow 3cos^2phi = sin^2phi Rightarrow tanphi = raiz3 , e :
varia de a (toda a volta ao redor do eixo ).
é o ângulo polar e será limitado pelo cone . Em coordenadas esféricas, isso se traduz em:
Portanto, .
varia do ponto onde a esfera menor ( ) até a esfera maior .
Passo 9
Precisamos encontrar os limites inferiores e superiores para x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4 Rightarrow rho^2 - 4rho cosphi + 4 = 4 Rightarrow rho^2 - 4rho cosphi = 0 Rightarrow rho(rho - 4cosphi) = 0 . A esfera menor deslocada pode ser reescrita em coordenadas esféricas:
Desconsiderando , temos . Então, varia de até .
Passo 10
Agora, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas: