Calcule a integral tripla integral duplaW f(x, y, z) d V, sendo: f(x, y, z)=1x^2+y^2+z^2 e W=(x, y, z) in R^3 ; z >= raizx^2+y^23, x^2+y^2+z^2 <= 12 e x^2+y^2+z^2 >= 4 z
(Identifique as superfícies que limitam o sólido W ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular uma integral tripla sobre um sólido definido por algumas condições, e também identificar quais são as superfícies que limitam esse sólido. Vamos usar conceitos de cálculo integral em três dimensões, especificamente integrais triplas, e também vamos precisar entender um pouco de geometria espacial para identificar essas superfícies. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com coordenadas esféricas, que facilitam bastante quando lidamos com situações envolvendo esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o sólido representa. As condições que definem são:
Vamos analisar cada uma delas para identificar as superfícies que limitam .

Passo 3

A primeira condição, z^2 >= x^2 + y^23 , pode ser reescrita elevando ambos os lados ao quadrado:
3z^2 >= x^2 + y^2
Multiplicando ambos os lados por 3:
Isso representa um cone de abertura para cima com eixo .

Passo 4

A segunda condição, , é a equação de uma esfera com raio centrada na origem. Essa esfera delimita de fora o sólido .

Passo 5

A terceira condição, x^2 + y^2 + z^2 - 4z >= 0 , pode ser rearranjada para facilitar a identificação da superfície:
x^2 + y^2 + (z^2 - 4z + 4) - 4 >= 0
Completando o quadrado para x^2 + y^2 + (z - 2)^2 - 4 >= 0 :
x^2 + y^2 + (z - 2)^2 >= 4
Isso representa o exterior de uma esfera de raio 2 centrada no ponto .

Passo 6

Agora que identificamos as superfícies que limitam :
  1. Cone:
  2. Esfera maior:
  3. Esfera menor deslocada:
Essas superfícies definem o espaço onde vamos calcular a integral tripla.

Passo 7

Para calcular a integral tripla x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi , vamos usar coordenadas esféricas, onde:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 8

Vamos determinar os limites de integração para 3(rho cosphi)^2 = rho^2 sin^2phi Rightarrow 3cos^2phi = sin^2phi Rightarrow tanphi = raiz3 , e :
  • varia de a (toda a volta ao redor do eixo ).
  • é o ângulo polar e será limitado pelo cone . Em coordenadas esféricas, isso se traduz em:
Portanto, .
  • varia do ponto onde a esfera menor ( ) até a esfera maior .

Passo 9

Precisamos encontrar os limites inferiores e superiores para x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 4 Rightarrow rho^2 - 4rho cosphi + 4 = 4 Rightarrow rho^2 - 4rho cosphi = 0 Rightarrow rho(rho - 4cosphi) = 0 . A esfera menor deslocada pode ser reescrita em coordenadas esféricas:
Desconsiderando , temos . Então, varia de até .

Passo 10

Agora, podemos escrever a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaW 1rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral0^2pi integral0^pi3 integral4cosphi^2raiz3 sinphi , drho , dphi , dtheta
Note que e .

Passo 11

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a integral4cosphi^2raiz3 sinphi , drho = sinphi cdot (rho) g|4cosphi^2raiz3 = sinphi (2raiz3 - 4cosphi) :

Passo 12

Agora, integramos em relação a integral0^pi3 sinphi (2raiz3 - 4cosphi) , dphi = 2raiz3 integral0^pi3 sinphi , dphi - 4 integral0^pi3 sinphi cosphi , dphi :
2raiz3 [-cosphi ]0^pi3 = 2raiz3 (-cospi3 + cos 0) = 2raiz3 (-12 + 1) = 2raiz3 cdot 12 = raiz3
Calculando cada parte:
-4 cdot 12 integral0^pi3 sin 2phi , dphi = -2 [-12 cos 2phi ]0^pi3 = -2 (-12cos2pi3 + 12cos 0) = -2 (-12 cdot (-12) + 12 cdot 1) = -2 (14 + 12) = -2 cdot 34 = -32
Para a segunda integral, usamos a identidade raiz3 - 32 :
Somando as duas partes:

Passo 13

Finalmente, integramos em relação a integral0^2pi (raiz3 - 32) , dtheta = (raiz3 - 32) cdot 2pi = 2pi raiz3 - 3pi :

Resposta

A integral tripla vale .

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