Sejam e transformações lineares de . Considere a base canônica do
determine T tal que R=S circ T.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformações lineares em álgebra linear. Temos três transformações lineares , e que vão de para . A base canônica é a padrão que usamos, que é .
O objetivo é encontrar a transformação tal que . Para isso, vamos precisar trabalhar com as representações matriciais dessas transformações na base canônica e entender como compor transformações lineares usando multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem transformações lineares representadas por matrizes em uma base canônica, a composição de duas transformações [R]C^C = [S]C^C cdot [T]C^C corresponde à multiplicação das matrizes dessas transformações. Ou seja,
Nosso objetivo é encontrar , a matriz que representa na base canônica.
Passo 3
Para isolar [T]C^C = [S]C^C^-1 cdot [R]C^C , precisamos “desfazer” a multiplicação pela matriz de . Isso é possível multiplicando ambos os lados da equação pela matriz inversa de , desde que essa matriz seja invertível.
Então, temos:
Mas antes, precisamos verificar se é invertível.
Passo 4
Vamos calcular o determinante de [S] = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 para verificar se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . Existem vários métodos para calcular a inversa, como a regra de Cramer, a eliminação de Gauss-Jordan, entre outros. Aqui, vamos usar a fórmula da matriz adjunta.
A inversa de uma matriz [S]^-1 = adj([S]) é dada por: