Sejam R, S e T transformações lineares de R^3 em R^3. Considere a base canônica do R^3, C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) Se
[R]C^C=[rrr 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 ] e [S]C^C[rrr -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 ]
determine T tal que R=S circ T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de transformações lineares em álgebra linear. Temos três transformações lineares , e que vão de para . A base canônica é a padrão que usamos, que é .
O objetivo é encontrar a transformação tal que . Para isso, vamos precisar trabalhar com as representações matriciais dessas transformações na base canônica e entender como compor transformações lineares usando multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente tem transformações lineares representadas por matrizes em uma base canônica, a composição de duas transformações [R]C^C = [S]C^C cdot [T]C^C corresponde à multiplicação das matrizes dessas transformações. Ou seja,
Nosso objetivo é encontrar , a matriz que representa na base canônica.

Passo 3

Para isolar [T]C^C = [S]C^C^-1 cdot [R]C^C , precisamos “desfazer” a multiplicação pela matriz de . Isso é possível multiplicando ambos os lados da equação pela matriz inversa de , desde que essa matriz seja invertível.
Então, temos:
Mas antes, precisamos verificar se é invertível.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de [S] = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 para verificar se ela é invertível. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Matriz det([S]) = -2 cdot (1 cdot 0 - 2 cdot (-2)) - 1 cdot (3 cdot 0 - 2 cdot 1) -1 cdot (3 cdot (-2) - 1 cdot 1) :
det([S]) = -2 cdot (0 + 4) -1 cdot (0 -2) -1 cdot (-6 -1)
Calculando o determinante:
det([S]) = -2 cdot 4 -1 cdot (-2) -1 cdot (-7)
det([S]) = -8 + 2 + 7 = 1
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . Existem vários métodos para calcular a inversa, como a regra de Cramer, a eliminação de Gauss-Jordan, entre outros. Aqui, vamos usar a fórmula da matriz adjunta.
A inversa de uma matriz [S]^-1 = adj([S]) é dada por:
Cofator11 = det1 & 2 -2 & 0 = (1)(0) - (2)(-2) = 0 + 4 = 4
Já que Cofator12 = -det3 & 2 1 & 0 = -[(3)(0) - (2)(1)] = -[0 - 2] = 2 , então:
Cofator13 = det3 & 1 1 & -2 = (3)(-2) - (1)(1) = -6 -1 = -7
Calculando a matriz adjunta de Cofator21 = -det1 & -1 -2 & 0 = -[(1)(0) - (-1)(-2)] = -[0 - 2] = 2 :
Primeiro, encontramos os cofatores de cada elemento.
Vamos calcular os cofatores:
Cofator22 = det-2 & -1 1 & 0 = (-2)(0) - (-1)(1) = 0 +1 =1
Cofator23 = -det-2 &1 1 & -2 = -[(-2)(-2) - (1)(1)] = -[4 -1] = -3
Cofator31 = det1 & -1 1 &2 = (1)(2) - (-1)(1) = 2 +1 =3
Cofator32 = -det-2 & -1 3 &2 = -[(-2)(2) - (-1)(3)] = -[-4 +3] = -[-1] =1
Cofator33 = det-2 &1 3 &1 = (-2)(1) - (1)(3) = -2 -3 = -5
Cof([S]) = 4 & 2 & -7 2 & 1 & -3 3 &1 & -5
adj([S]) = 4 & 2 & 3 2 &1 &1 -7 & -3 & -5
[S]^-1 = 4 & 2 & 3 2 &1 &1 -7 & -3 & -5
Agora, a matriz dos cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Portanto,

Passo 6

Agora que temos [T] = [S]^-1 cdot [R] , vamos multiplicar essa matriz pela matriz [R] = 1 & 0 & 1 2 &1 &1 0 & -1 &1 para encontrar [T] = 4 & 2 & 3 2 &1 &1 -7 & -3 & -5 cdot 1 & 0 &1 2 &1 &1 0 & -1 &1 :
4 cdot 1 + 2 cdot 2 + 3 cdot 0 = 4 + 4 + 0 = 8
Matriz 4 cdot 0 + 2 cdot 1 + 3 cdot (-1) = 0 + 2 -3 = -1 :
4 cdot 1 + 2 cdot 1 + 3 cdot1 = 4 +2 +3 =9
Vamos realizar a multiplicação:
2 cdot1 +1 cdot2 +1 cdot0 =2 +2 +0 =4
Vamos calcular cada elemento de 2 cdot0 +1 cdot1 +1 cdot(-1) =0 +1 -1=0 :
  • Primeiro elemento da primeira linha:
2 cdot1 +1 cdot1 +1 cdot1 =2 +1 +1=4
  • Segundo elemento da primeira linha:
-7 cdot1 + (-3)cdot2 + (-5)cdot0 = -7 -6 +0 =-13
  • Terceiro elemento da primeira linha:
-7 cdot0 + (-3)cdot1 + (-5)cdot(-1) =0 -3 +5 =2
  • Primeiro elemento da segunda linha:
-7 cdot1 + (-3)cdot1 + (-5)cdot1 =-7 -3 -5 =-15
  • Segundo elemento da segunda linha:
[T] = 8 & -1 &9 4 &0 &4 -13 &2 &-15
  • Terceiro elemento da segunda linha:
  • Primeiro elemento da terceira linha:
  • Segundo elemento da terceira linha:
  • Terceiro elemento da terceira linha:
Portanto, a matriz é:

Resposta

A transformação linear [T]C^C = 8 & -1 & 9 4 & 0 & 4 -13 & 2 & -15 é representada pela seguinte matriz na base canônica:

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