Calcule a integral dupla da função f(x, y) = x*y + y^2 na região B, sendo B a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles xy=1, xy=3 e pelas retas y = x e y = 2 x.
Resposta: 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular a função na região . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas hipérboles e , além das retas e . Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a integração dupla passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro quadrante, as hipérboles e representam curvas onde o produto de e é constante. As retas e são linhas que dividem a região. Para facilitar a integração, vamos usar uma mudança de variável, definindo e . Mas, nesse caso, como as hipérboles e retas já nos dão boas dicas para os limites, podemos seguir diretamente.

Passo 3

Vamos expressar os limites de e :
  • varia entre 1 e 3.
  • varia entre 1 (pois ) e 2 (pois ).
Com isso, podemos reescrever a integral dupla em termos de e .

Passo 4

Calculamos o Jacobiano da transformação para mudar as variáveis:
Após calcular, descobrimos que o Jacobiano é .

Passo 5

Agora, reescrevemos a função em termos de e :
Mas, como e , simplificamos para facilitar a integração.

Passo 6

A integral dupla fica então:
Resolvemos essa integral passo a passo.

Passo 7

Após integrar em relação a e depois em relação a , chegamos ao resultado final da integral dupla, que é 8.

Resposta

8

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