Calcule a integral dupla da função na região , sendo a região do primeiro quadrante que está delimitada pelas hipérboles e pelas retas e .
Resposta: 8
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve calcular a função na região . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas hipérboles e , além das retas e . Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e aplicar a integração dupla passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro quadrante, as hipérboles e representam curvas onde o produto de e é constante. As retas e são linhas que dividem a região. Para facilitar a integração, vamos usar uma mudança de variável, definindo e . Mas, nesse caso, como as hipérboles e retas já nos dão boas dicas para os limites, podemos seguir diretamente.
Passo 3
Vamos expressar os limites de e :
varia entre 1 e 3.
varia entre 1 (pois ) e 2 (pois ).
Com isso, podemos reescrever a integral dupla em termos de e .
Passo 4
Calculamos o Jacobiano da transformação para mudar as variáveis:
Após calcular, descobrimos que o Jacobiano é .
Passo 5
Agora, reescrevemos a função em termos de e :
Mas, como e , simplificamos para facilitar a integração.
Passo 6
A integral dupla fica então:
Resolvemos essa integral passo a passo.
Passo 7
Após integrar em relação a e depois em relação a , chegamos ao resultado final da integral dupla, que é 8.