Calcule a integral dupla da função na região e .
Resposta: 3,375
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla! A gente precisa calcular a integral da função sobre a região definida por e . Para isso, vamos usar substituição de variáveis e entender um pouco sobre integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a função e os limites. Vamos definir:
Com isso, nossa função fica:
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a medida da área na integração.
Passo 3
Calculando o jacobiano:
Então, o jacobiano é 1, o que significa que .
Passo 4
Agora, vamos transformar os limites da região para as variáveis e . A região é definida por:
Substituindo e , e resolvendo, encontramos que os novos limites para e são de 1 a 2 para e de 1 a 3 para . Então, a integral fica:
Resolvendo a integral interna em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Calculando numéricamente, aproximamos o resultado para obter 3,375.