Calcule: integral triplaR x y z d V ; R=[0,1] times[0,2] times[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla de sobre a região , que é um paralelepípedo definido pelos intervalos para , para e para . Isso envolve usar integrais múltiplas do cálculo, especificamente integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla de forma iterada, ou seja, uma integral dentro da outra. Como a região integral triplaR x y z , dV = integral0^3 integral0^2 integral0^1 x y z , dx , dy , dz é um paralelepípedo, os limites de integração são constantes. Assim, a integral fica:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^1 x y z , dx = y z integral0^1 x , dx = y z [ x^22 ]0^1 = y z ( 12 - 0 ) = 12 y z , mantendo e como constantes. A integral de em relação a de 0 a 1 é:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 12 y z , dy = z2 integral0^2 y , dy = z2 [ y^22 ]0^2 = z2 ( 42 - 0 ) = z2 times 2 = z de 0 a 2:

Passo 5

Por fim, integramos o resultado em relação a integral0^3 z , dz = [ z^22 ]0^3 = 92 - 0 = 92 de 0 a 3:

Resposta

92

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